Принцип максимума в задачах оптимального управления системами с распределенными параметрами с поточечными фазовыми ограничениями

• Автор: Сугак, Дмитрий Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 109 с.

ВВЕДЕНИЕ
Математическая теория оптимального управления исследует явления, процессы и системы, на которые можно воздействовать, иными словами, которыми можно управлять. Цель теории — создать методы и правила выбора управляющего воздействия для получения наилучшего в заданном смысле результата.
Классический раздел теории оптимального управления - вариационное исчисление - создавался многими великими математиками прошлого, в частности Эйлером, Лагранжем, Гамильтоном, Якоби, Вейерштрассом, Гильбертом и другими. Принято считать датой рождения вариационного исчисления 1696 год, когда Иоганн Бернулли привлек внимание математиков того времени к задаче о брахистохроне, задаче, которую Готфрид Лейбниц назвал прекрасной и до сих пор неслыханной. Вариационное исчисление оказало значительное воздействие на современное естествознание: в виде вариационных принципов формулируются основные положения механики и физики. Вариационное исчисление явилось сильным инструментом при решении многих практических задач. Тем не менее в современных технических науках, а также в математической экономике стали возникать задачи оптимизации, не поддающиеся или плохо поддающиеся решению методами вариационного исчисления. Для этих задач типично наличие ограничения u(t) € 17 на управляющее воздействие u(t), где 17 — заданное подмножество которое в отличие от классического случая может быть замкнутым. При этом на некоторых временных интервалах u(t) может принимать граничные значения. Такие ограничения естественны, поскольку в качестве управления u(t) или его компонент выступают угол поворота руля, тяга двигателя, распределение ресурсов и т.п.
Для решения этих новых задач в 60-е годы был разработан специальный математический аппарат — родился знаменитый принцип максимума Понтрягина, созданный Л.С.Понтрягиным и его сотрудниками В.Г.Болтянским, Р.В.Гамкрелидзе и Е.Ф.Мищенко. Тем самым было положено начало развитию нового современного этапа теории оптимального управления.
Специфику задач оптимального управления в контексте общей теории оптимизации можно понять, рассмотрев аналогичные конечномерные задачи, когда вместо функции u(t) ищется вектор и = (ui
Этот случай аналогичен задачам вариационного исчисления, а указанное необходимое условие — основному необходимому условию вариационного исчисления — уравнению Эйлера.
ного управления, включающая принцип максимума Понтрягина, исследует ситуации, аналогичные этому случаю.
Если и лежит на границе множества 17, то это условие может не выполняться и тогда нахождение значения и0 сильно усложняется. Современная теория оптималь-

Важно заметить, что из принципа максимума Понтрягина легко следуют основные необходимые условия классического вариационного исчисления.
Появление принципа максимума Понтрягина, который далее называется просто принципом максимума, породило серию работ, развивающих теорию оптимального управления в разных направлениях. Остановимся на одном из них.
Авторы принципа максимума рассматривали объекты управления, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Вскоре выяснилось, что для объектов другой природы, которые описываются дифференциальными уравнениями с запаздыванием, интегральными уравнениями разных типов и уравнениями в частных производных, необходимые условия оптимальности имеют форму аналогичную принципу максимума Понтрягина. Математические модели объектов управления могут содержать разные комбинации уравнений упомянутых и других типов. По-видимому, единственным средством объединения методов исследования различных рассматриваемых математических моделей служит переход на более высокий уровень абстракции с использованием языка и аппарата функционального анализа. Этот путь привел к рождению абстрактных теорий оптимального управления. Для этих теорий характерен выбор в качестве основного объекта изучения некоторой абстрактной модели, описываемой языком функционального анализа. Полученные результаты предлагается затем интерпретировать применительно к тем конкретным моделям, с которыми сталкивается исследователь. Абстрактная теория делает более прозрачными основные идеи и позволяет заменить математически насыщенный полнообъемный вывод результата существенно более легковесной процедурой интерпретации готовой абстрактной теоремы. Она позволяет получить новые и существенно дополнить старые результаты. Ценность абстрактной теории определяется широтой охвата разных конкретных ситуаций и удобством ее применения. Подобные абстрактные теории были построены Болтянским, Гамкрелидзе и Харатишвили, Дубовицким и Милютиным, Матвеевым и Якубовичем, Neistadt, Halkin и др.
Необходимые условия экстремума первого порядка, в том числе принцип максимума , играют важную роль и в теории оптимального управления системами с распределенными параметрами.1 Нахождению таких условий посвящено очень много работ( А.Г.Бутковский, Р.Габасов, В.А. Дыхта, А.И.Егоров, Ю.В.Егоров, Ф.М.Кириллова, К.А.Лурье, В.И.Плотников. Т.К.Сиразетдинов, В.И.Сумин, М.И.Суми) С.Ф.Морозов, Л.В.Петухов, В.А.Троицкий, А.Л.Лихтарников, А.В.Фурсиков, В.Я.Ривк: О.В.Васильев, Ю.С.Осипов, В.А.Срочко, В.А.Якубович, А.С.Матвеев, В.А.Брусин, J.L.Lions, V.Barbu, I.Ekeland, R.Temam, H.O.Fattorini, J.F.Bonnans etc.) Эта область остается сферой интенсивной разработки и в настоящее время. В подтверждение сошлемся на содержание журнала SIAM Journal on Control and Optimization, где за последние три года опубликовано 11 статей по обсуждаемой тематике (из них 5 в 2000 году). Близкая картина наблюдается и в других международных журналах подходящего профиля. К темам, вызывающим сейчас наибольший интерес, относятся, на-
-Этим термином обозначают системы, состояние которых в заданный момент времени описывается бесконечным набором чисел, например, функцией, в отличие от систем с сосредоточенными параметрами, состояние которых описывается конечным набором. Типичная система с распределенными параметрами описывается уравнением в частных производных.

пример, необходимые условия оптимальности высших порядков, принцип максимума в случае управлений, влияющих на коэффициенты при старших производных дифференциального оператора, либо управлений, входящих в граничные условия типа Дирихле или начальные данные Коши, численные методы решения задач оптимального управления, связанные в частности, с принципом максимума. Значительным и устойчивым интересом пользуются и задачи с так называемыми поточечными фазовыми ограничениями2 , исследованию которых посвящена и данная диссертация.
Прежде чем двигаться дальше, поясним использованный термин и введем ряд сопутствующих понятий. Для этого рассмотрим простейший объект управления, описываемый обыкновенным дифференциальным уравнением
Здесь х({) £ К” - состояние (фазовая переменная), а() £ К'га - управление, - время и К - заданное множество допустимых управлений. Процесс - это пара функций, удовлетворяющих соотношениям (1); с неформальной точки зрения процесс - это вариант развития событий для данного объекта управления (вариант управления + отвечающая ему реакция объекта). Задача оптимального управления состоит в минимизации некоторого функционала, например,
на множестве всех процессов, удовлетворяющих определенным требованиям. Их обычно называют ограничениями. Ограничение может, например, состоять в постановке граничных условий
где векторы а и Ь заданы. В этом случае объект требуется оптимальным образом перевести из заданного начального в заданное конечное состояние. Требование не превышать назначенного лимита расхода топлива (энергии) часто удается записать
в виде
где г(ф) и 7 - заданные функции и константа, соответственно. Если в выражениях, задающих ограничение,присутствует только фазовая переменная х(-), это ограничение называют фазовым. Если присутствует как т(-), так и «(), его называют смешанным. Так ограничение (2) - фазовое, а (3) - смешанное. Типичный пример поточечного фазового и смешанного ограничений для объекта (1) - это условия

,т(0) = а, х(Т) = 6,

g[x(t) < о, Vie [0,Т] и p[x(t),u(t)j < о, Vi є [о,т]

2 Им, например, посвящено 5 из упомянутых 11 статей в SIAM Journal on Control and Optimization.

где £о(ж,£) — главная часть матрицы £(л,£), каждый элемент которой (х,£) есть сумма тех членов степень которых по £ равна в точности 5г- + tj.
Пусть х: £ 5 к ( = ( + тг/, где £ = (£1

2г, так чт.о + *«') = 2г.

Сформулированное условие представляет собой стандартное определение эллиптичности по Даглису-Ниренбергу [34].
Отметим, что при п > 3 второе требование из условия 1.1 (касающееся корней полинома х(х, £ + тн)) можно опустить, так как оно заведомо верно при выполнении первого требования (условия х(х, £) фО /з: 6 0).
Пусть £о(х, £) — взаимная матрица для Со, то есть транспонированная матрица алгебраических дополнений. Алгебраическое дополнение элемента матрицы Со обозначим через Lij. Нетрудно заметить, что степень полинома П,:Дл,£) равна 2г — в!. — tj (если 2г — 5;, — tj <0, то — 0).
Условие 1.2, Предположим, что существуют целые числа = 1
— те же, что и выше), а если ач + 13 < 0, то Вдз = 0. Сумму всех членов полинома Вчз(х,(), степень которых равна оя --tjj назовем его главной частью и обозначим через ВТ, а матрицу с элементами ВТ обозначим через Во. Предположим, что выполняется следующее условие дополнительности: строки матрицы С(ж,£ + ти) — Во(ж,С + ть')о(х,С + ти) в каждой точке х 6 5* и при любом касательном к Б в этой точке векторе £ ф 0 линейно независимы (как полиномы по

г) по модулю полинома ц+(т,£, г) = Л (г — т£*"(ж, £)), где т(~ — корни полинома

н(х,С, + ти) с положительной .мнимой частью.
Условие 1.3. Задано неотрицательное целое число I, удовлетворяющее условию I > Стах = тах(<71
емы I — 31 раз, а коэффициенты операторов Вчз(х,Сф принадлежат, классам
С1-*« (5).
Условие 1.4. degriJ(x,() < I + tj V« — 1