О некоторых проблемах приближения и вычисления классических функций и констант

• Автор: Карацуба, Екатерина Анатольевна
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 136 с.

Содержание

Введение. Специальные функции и их вычисление

I Проблемы приближения некоторых классических функций и констант

1 Проблема аппроксимации константы Эйлера гаммы

1.1 Введение. Постановка задачи

1.2 -^-функция и её выражение через специальный интеграл 1'{х)

1.3 Асимптотическое представление для интеграла З’(х)

1.4 Уточнение асимптотического выражения для интеграла Jl(x)

1.5 Оценки для функций приближения к константе

1.6 О вычислении константы Эйлера

2 Проблема аппроксимации гамма-функции Эйлера на основе гипотезы Рамануджана

2.1 Введение. Постановка задачи. Функция к(х)
2.2 Представление к(х) через специальный интеграл J(x)
2.3 Асимптотическое представление для интеграла J{x)
2.4 Асимптотическое представление и оценки для функции Ъ,(х) .
2.5 Новая асимптотическая формула для гамма-функции Эйлера
2.6 Равномерная оценка остаточного члена
2.7 Монотонность функции к(х)
2.8 Поведение функции Н(х) на интервале 1 < х < 4.21
2.9 Заключение
3 Обобщение соотношения Лежандра и некоторые свойства гипергеометрических функций
3.1 Введение. Постановка задачи. 5-функция
3.2 Основной результат
3.3 Приложения

II Метод БВБ и быстрое вычисление специальных функций математической физики
Введение.
4 Метод БВБ и быстрое вычисление дзета-функции Римана £(в) для целых значений аргумента з
4.1 Быстрое вычисление С(«) для чётного и отрицательного в . .
4.2 Быстрое вычисление константы Апери £(3)
4.3 Алгоритм быстрого вычисления С(«) для целого аргумента в.
4.4 Сложность промежуточных вычислений
4.5 Сложность вычисления С(&) при натуральном к , к > 2 . .
5 Быстрое вычисление дзета-функции Гурвица и 7-рядов Дирихле
5.1 Быстрое вычисление дзета-функции Гурвица для рационального аргумента
5.2 Быстрое вычисление дзета-функции Гурвица для алгебраического аргумента
5.3 Быстрое вычисление 7-рядов Дирихле
6 Метод БВБ и быстрое вычисление некоторых специальных
функций, интегралов и констант
6.1 Быстрое вычисление некоторых специальных интегралов математической физики
6.2 Быстрое вычисление полилогарифмов и некоторых, связанных с ними, специальных интегралов
6.3 Быстрое вычисление константы Каталана
6.4 Быстрое вычисление функций Бесселя методом БВБ
О тестировании и внедрении метода БВБ
Заключение
Список литературы

Введение. Специальные функции и их вычисление
В настоящей диссертации рассматриваются проблемы, связанные с приближением и вычислением классических функций и констант.
В первой части диссертации методы классического анализа применяются к решению задач о приближении гамма-функции Эйлера и константы Эйлера гаммы. В этой же части рассматривается задача о свойствах В-функции, частным случаем которых является соотношение Эллиотта для гипергеометрических функций, обобщающее известное соотношение Лежандра для полных эллиптических интегралов.
Постоянная Эйлера 7, которая участвует в определении Вейерштрасса гамма-функции Эйлера,
является одной из самых важных математических констант. Поскольку подавляющее большинство специальных функций математической физики выражаются формулами, в которые входит гамма-функция Эйлера, то и гамма-функция и константа 7 пользуются большим вниманием как математиков аналитиков,так и математиков вычислителей. В частности, исследования Института Стандартов и Технологий США показали [85], что гамма-функция Эйлера является наиболее часто вычисляемой специальной функцией (занимает место N 1) в различных библиотеках и пакетах программ. Очень важна в приложениях и гипергеометрическая функция. Установлению новых свойств гипергеометрической функции, а также гамма-функции и постоянной Эйлера гаммы посвящена первая часть диссертации.
Результаты представлены выводом новых асимптотических формул с лучшим приближением для постоянной Эйлера гаммы и гамма-функции Эйлера и новых соотношений для гипергеометрической и некоторых других специальных функций, позволяющих оценивать значения этих функций при разных параметрах.
Во второй части диссертации рассматриваются проблемы быстрого вычисления специальных функций математической физики и констант.

41 89
° - ^ - 2520ж3 + 20160а:4 + 22400ж5 +
1 1 1 + 10080а;6 + 100800а:7 - 46а;3’ для функции Іі(х) находим следующую оценку сверху:
1 11 79 21
(Х' - 30 240а: + ЗЗбОж2 + 6250а;3 + 46а;
Л _ Л_ 79
- 30 240а; 3360а:2 10000а;
Переписав последнее неравенство в виде

<1 .(Л 79 251 А (2 24)
- 30 240a: 3360а;2 10000а;3,/’ ^ ’
легко проверить, что при х > 1.04 значение выражения в скобках правой части (2.24) является положительным. Следовательно, при х > 1.04;
М*) < ^
и кроме того, из (2.18) и (2.24) имеем:
Цх) -> 1 (2.25)
при х -¥ +оо. Отсюда и из (2.19) мы получаем утверждение леммы 2.1.
2.5 Новая асимптотическая формула для гамма-функции Эйлера
Покажем, что функцию к(х) при х —¥ оо можно представить в виде:
*(*) = ^ + ^+^ + ---+^ + Дп+1(:с), (2.26)
с остаточным членом
Д„+і(ж) = О ;
и укажем алгоритм вычисления коэффициентов разложения ап для любого натурального п.
Из (2.18), (2.24), (2.26) следует, что
оі = ~ = 27В24 + Шад.
Таким же образом можно найти и второй коэффициент