Интерполяционные формулы для функций с погранслойными составляющими и их применение

• Автор: Задорин, Никита Александрович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Омск
• Количество страниц: 127 с. : ил.

Оглавление
Введение

Глава 1. Интерполяция функции одной переменной

с погранслойной составляющей

1.1. Необходимость построения

специальных интерполяционных формул

1.2. Погрешность неполиномиальной интерполяции

1.3. Двухточечная специальная интерполяция

1.4. Неполиномиальный аналог

Эрмитовой интерполяции

1.5. Трехточечпая специальная интерполяция
1.6. Интерполяционная формула
с произвольным числом узлов интерполяции
1.6.1. Построение и обоснование
интерполяционной формулы
1.6.2. Результаты численных экспериментов
Глава 2. Квадратурные формулы для функций
с погранслойной составляющей
2.1. Квадратурная формула с двумя узлами
2.2. Квадратурная формула с тремя узлами
2.3. Квадратурная формула с четырьмя узлами
2.4. Квадратурная формула с пятью узлами
2.5. Аналог формул Ныотона-Котеса
в общем случае
2.5.1. Построение и обоснование квадратурной формулы
2.5.2. Результаты численных экспериментов
2.6. Формулы Ньютона-Котсса на сетке Шишкина
2.7. Сравнение трехточечной формулы подгонки с формулой Симпсона на сетке Шишкина

2.7.1. Формула, точная на іюгранслойной составляющей
2.7.2. Формула Симпсона на сетке Шишкина
2.7.3. Численные эксперименты
2.8. Квадратурная формула Эйлера на
кусочно-равномерной сетке
2.8.1. Квадратурная формула Эйлера
2.8.2. Квадратурная формула Грегори
2.8.3. Численные эксперименты
Глава 3. Интерполяционные формулы для функции двух переменных с погранслойными составляющими и их применение
3.1. Построение и анализ интерполяционных
формул для функции двух переменных
3.2. Применение построенной интерполяционной
формулы в двухсеточпом алгоритме
3.3. Результаты численных экспериментов
3.4. Аналог кубатурной формулы Симпсона
Заключение
Список литературы

Введение
Актуальность темы исследования. Математическое моделирование конвективно - диффузионных процессов приводит к необходимости численного решения сингулярно-возмутцеппых краевых задач. Решение сингулярно возмущенной задачи имеет пограничные или внутренние слои, где решение имеет большие градиенты. Как известно, применение классических разностных схем для решения таких задач может привести к погрешностям порядка 0(1). Впервые на это обратили внимание Ильин А.М. [42] и Бахвалов
Н.С. [7] в 1969 году. Они предложили два подхода для построения разностных схем, сходящихся равномерно по возмущающему параметру е построение разностной схемы с учетом того, чтобы она была точной на погранслойиой составляющей [42] и сгущение сетки в пограничном слое [7]. Далее эти подходы развивались в работах многих авторов. Сетка Бахвалова [7] была модифицирована, например, в работах Шишкина Г.И. [63], Ли-сейкина В.Д. и Петренко В.Е. [51], УЛапоую Б. [77] и других авторов. Построение схем на основе иподгонки к погранслойиой составляющей решения осуществлялось, например, в работах [42], [19], [20]. Отметим, что вопросы разработки разностных схем для сингулярно возмущенных задач исследовались в [2], [4], [о], [10], [22], [71], [72], [74], [76] и в ряде других работ.
Вопрос построения интерполяционных формул для функций с большими градиентами в пограничном слое намного .меньше исследован и актуален. В соответствии с [23] применение интерполяционных многочленов Лагранжа для интерполяции таких функций приводит к погрешностям порядка 0(1).
Остановимся на анализе неполнномиальных интерполяционных формул. Обобщенный интерполяционный многочлен можно записать в виде:

СДгцх) = У^а/1>Дж),

где система функций ФДх) должна быть Чебышевской [9, с. 49]. Тогда, если заданы различные узлы интерполяции {х1, х2,...,х*.}, то система ОДм, хг) = и(х,), i = 1,2,... ,к на коэффициенты {аД однозначно разрешима. При задании ФДх) = х;_1 следует многочлен Лагранжа. Аналогично из обобщенного интерполяционного многочлена можно получить экспоненциальную и тригонометрическую интерполяцию. Как известно [56],

начальных задач. От квадратурных формул будем требовать, чтобы оценка погрешности была равномерной по производным погранслойной составляющей Ф(:г). Тогда точность вычисления интеграла не будет понижаться при наличии больших градиентов у интегрируемой функции в пограничном слое.
2.1. Квадратурная формула с двумя узлами
Для вычисления интеграла (2.1) выпишем квадратурную формулу трапеций:
8,(„) = (6_0,2Шд£2. (2.1Л,
Для формулы (2.1.1) известно представление погрешности [9, с. 185]:
Я2{и) = 1{и) - 52(«) = -^=^«"(5) (2.1.2)
для некоторого й € (а,Ь). Из (2.1.2) следует:
]Дг(ц)| < тах|ц"(х)| ^ ^ . (2.1.3)

Введем составную формулу трапеций. Пусть задана равномерная сетка интервала [а, Ь] :
Пг> = {хп : хп = а + п!г, п = 0,1,..., IV, N11 = Ь — а}.
Составная формула трапеций имеет вид:

5г(и) = 11^2 иП^2 ПП ’ и” = и(Хп}- (2Л-4)

Для формулы (2.1.4), с учетом (2.1.3), имеем оценку погрешности:
|Я£(и)| < тах и"{х) — к2. (2.1.5)

В соответствии с (2.1.5), если производная и"(х) является равномерно ограниченной, то погрешность формулы (2.1.4) порядка 0(/)2). При больших значениях производной интегрируемой функции порядок точности формулы (2.1.4) может понизиться.
Рассмотрим погрешность формулы трапеций для первого сеточного интервала на примере функции и(х) = ехр(—£~1х), е > 0: л
Д = /* ехр(—е~1х) (1х — ^1 + ехр(—= е — ^ — ехр(—£~1К){е + ^). о
Нетрудно заключить, что при £«1 Д = 0(1г3) и при £ < к Д = 0(/г). Таким образом, при наличии погранслойной составляющей у интегрируемой функции, порядок погрешности составной формулы трапеций (2.1.4) может увеличиться до 0(К).