Приближенное вычисление потенциалов Рисса

• Автор: Медведева, Мария Ивановна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 91 с.

Содержание
Введение
§1. О содержании диссертации
§2. Основные обозначения и определения
1. Асимптотические выражения для функционалов ошибок
с пограничным слоем
§1. Оценки погрешностей
§2. Формулы для оценок погрешностей интегрирования
§3. Доказательство теорем
2. Приближенное вычисление интегралов Рисса
§1. Верхние оценки погрешностей формул
§2. Оценки интегралов специального вида
§3. Нижние оценки погрешностей формул
3. Решетчатые квадратурные формулы
§1. Решетчатые квадратурные последовательности
функционалов
§2. Формулы прямоугольников и трапеций
4. Сходимость последовательностей решетчатых квадратурных формул на конкретных функциях
§1. Сходимость квадратурных процессов
§2. О сходимости последовательностей функционалов ошибок
на конкретных периодических функциях

5. Некоторые примеры исследований квадратурных
формул
§1. Квадратурные формулы в пространствах дробных производных
о Уо
Римана-Лиувилля Ь2 (а, Ь)
§2. Вычисление функционалов ошибок на функциях
из Аа(Ьр(а, Ь))
Список литературы
Введение
§ 1. О содержании диссертации
В диссертации будут рассматриваться, главным образом, квадратурные формулы, т.е. формулы вида
Параметры и точки х& соответственно называются коэффициентами и узлами квадратурной формулы, р{х) — фиксированная функция называемая весовой, /(х) — интегрируемая функция. В настоящее время теория квадратурных формул разработана достаточно полно. Квадратурные формулы, такие как, например, формулы Ньютона-Котеса, Гаусса, Грегори, Чебышева и другие, широко используются в различных областях науки и техники.
Отметим, что в случае многомерного интегрирования по области Г2 квадратурные формулы принято называть кубатурными, т.е.
Для формул интегрирования, как правило, указывается некоторое множество функций, на которых она точна при минимальном или фиксированном числе узлов N. Обычно это множество, состоящее из алгебраических или тригонометрических многочленов степени не выше некоторого фиксированного числа.
Задачи приближенного интегрирования состоят в том, чтобы сумму, стоящую в правой части (0.1), подобрать с учетом выполнения тех или иных заранее заданных свойств формулы (0.1). Укажем на несколько подходов для определения качества квадратурных и кубатурных формул.
(0.1)

Глава 2. Приближенное вычисление интегралов Рисса

В статье [39] было показано, что существуют последовательности решетчатых квадратурных формул с узлами в точках а + кк (0 к п) и функционалами ошибок 1Н:
где спк (0 к п) — постоянные, обладающие следующими свойствами.
Существуют положительные постоянные А, А2 такие, что при всех <р/ € Гр(а, Ъ) верны неравенства
К подобным последовательностям относятся, в частности, квадратурные формулы Соболева С. Л. и формулы Ньютона—Котеса. Функционалы вида (2.3) — это частные случаи функционалов (2.2) с N = п + 1 и при этом
Замечание. Следуя методу работы [39] и анализируя приведенное доказательство, теорему 2.1 можно распространить на случай произвольного а > 0.
§ 2. Оценки интегралов специального вида
Положим: /г = ЫМ) = (Ь — а)/(2АГ), Г2(ЛГ) = Оіец(м)(а + а + М + К), где д(1У) — совокупность целых чисел і Є [0,2М — 1] таких, что интервалы (а + М,а + М + К) не содержат узлов
Выберем произвольно число є > 0, а число А Є (0,1] фиксированным и таким, что а < А.
(2.3)
(1Н,12+Ч>/) < МНаЫЬр{а,ь), < МЬГШы**). (2.4)
N = Щк) = (Ь- а)/Ь + 1 = (Ь- а)(1 + о{ 1))//г, Ь -> 0.
Отсюда и из неравенств (2.4) вытекает теорема 2.1.