Восстановление управлений в параболических системах

• Автор: Михайлова, Дарья Олеговна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 160 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение

Глава 1. Восстановление распределенных управлений

статическим методом

1.1. Постановка задачи

1.2. Свойства управляемой системы и обратной задачи

1.3. Решение задачи восстановления

1.4. Построение минимизирующих последовательностей

1.5. Аппроксимация задачи

1.6. Численное моделирование задачи

Глава 2. Восстановление граничных управлений
статическим методом
2.1. Постановка задачи
2.2. Свойства управляемой системы и обратной задачи
2.3. Решение задачи восстановления
2.4. Построение минимизирующих последовательностей
2.5. Аппроксимация задачи
2.6. Численное моделирование задачи
Глава 3. Восстановление распределенных управлений
динамическим методом
3.1. Постановка задачи
3.2. Решение задачи восстановления
3.3. Аппроксимация задачи
3.4. Численное моделирование задачи

Глава 4. Восстановление граничных управлений
динамическим методом
4.1. Постановка задачи
4.2. Решение задачи восстановления
4.3. Аппроксимация задачи
4.4. Численное моделирование задачи
Заключение
Список обозначений
Литература
Список публикаций по теме диссертации
Приложение А

Введение
Одним из эффективных способов изучения математическими методами физических процессов, протекающих в окружающем мире, является моделирование этих процессов с помощью дифференциальных уравнений. Весьма широкий класс физических процессов описывается линейными дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка (например, процессы колебаний, диффузии, теплопроводности, стационарные процессы различной природы). Для полноты описания процесса задают краевые (начальные и граничные) условия задачи. Содержащиеся в дифференциальных уравнениях коэффициенты связаны с физическими характеристиками среды, в которой протекают процессы.
При классической постановке задач математической физики требуется, зная уравнение (в частности, входящие в него коэффициенты) и краевые условия, найти решение этого уравнения, удовлетворяющее в заданных пространствах краевым условиям задачи. При этом на входящие в уравнение функции накладываются определенные ограничения, должным образом выбирается пространство, в котором ищется решение, — так, что решение задачи:
а) существует в выбранном пространстве;
б) единственно в нем;
в) непрерывно зависит от исходных данных задачи (начальных, граничных условий, свободного члена, коэффициентов уравнения).
В этом случае задача называется корректно поставленной по Адамару [1]. Задача, которая не удовлетворяет хотя бы одному из условий а) - в), называется некорректно поставленной. Понятие корректности было введено Ж. Адамаром в 1923 г.
Часто на практике встречаются такие ситуации, когда прямое исследование некоторого объекта затруднено или невозможно. Например, при поиске полезных ископаемых требуется информация о внутреннем строении земли

1.3. Решение задачи восстановления
Введем в рассмотрение банахово пространство XV [14,20,61] вектор-функций и, действующих из Т в Мт, с ограниченным изменением, в котором норма равна
1М1ьи = ||и||я +У[и] ,
где У[и] — полная вариация функции и:Гэ(-> и{£) 6 К"1 [56-61]

У[и) = эир { || и(и) -и(и_ 1) ||Кт : сг е Е},

супремум берется по множеству Е всех конечных разбиений а отрезка Т а : и < И < ... < *г-1 <*; = #, I е N.
Лемма 1.3.1. Пространство XV компактно вкладывается в Е, то есть оператор вложения XX/ в Е непрерывен и каждое ограниченное множество из ¥ он переводит в предкомпактное множество из Е.
Лемма 1.3.2. Всякое замкнутое множество из XV является замкнутым и в Е.
Леммы 1.3.1 и 1.3.2 доказаны в [14]. ■
Лемма 1.3.3. Поточечный предел ограниченной в XV последовательности функций также является функцией из XV.
Доказательство. Пусть й — поточечный предел произвольной ограниченной в V/ последовательности функций {и^} С XV. Докажем, что й принадлежит XV.
Поскольку {щ,} ограничена в XV, то существует такое неотрицательное число М, что для любого номера к € N имеем || и||д ^ М , У[и*] ^ М .
Функция й измерима как поточечный предел измеримых функций [56, с. 269]. Из оценки || ^ М и теоремы Фату [56, с. 287] следует, что й € Е
и \й ||в ^ М. Опираясь на первую теорему Хелли [56, с. 344], заключаем, что