О вычислении кратных интегралов от рациональных функций

• Автор: Бураченко, Мария Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 121 с.

Глава 1. Понижение кратности интеграла алгебраически точной дифференциальной формы с квазиэллиптическим знаменателем
1.1. Основные определения и формулировка результата Циха-Ермолаевой
1.2. Алгоритм
1.2.1. Построение многогранника Ныотона и двойственного
ему веера
1.2.2. Простое разбиение веера нормалей
1.2.3. Проверка квазиэллиптичности полинома и условия
неравенства его нулю в Мп
1.2.4. Проверка абсолютной сходимости интеграла
1.2.5. Нахождение рациональной первообразной
1.2.6. Основной алгоритм
1.3. Реализация алгоритма и примеры вычислений
Глава 2. Когомологическое приведение рациональных дифференциальных форм
2.1. Теорема Лейнартаса-Южакова
2.2. Некоторые возможности упрощения числителя коэффициента рациональной дифференциальной формы
2.3. Расширенные алгоритмы Бухбергера
57 61 64 69 72

2.3.1. Основные определения
2.3.2. Алгоритмы Бухбергера
2.3.3. Расширенные алгоритмы Бухбергера
2.3.4. Реализация алгоритмов и примеры вычислений
2.4. Метод когомологического приведения
2.5. Реализация и примеры вычислений
Заключение Приложение Список литературы Литература

Необходимость в вычислении интегралов от рациональных функций многих переменных возникает в различных областях математики и теоретической физики, в частности, в квантовой теории поля. В конце 50-х годов было обнаружено, что к ним приводятся фейнмановские интегралы [16, 19]. В 80-х годах было замечено, что некоторые интегралы такого типа, а именно интегралы со значениями из поля рациональных чисел, выражают топологические заряды инстантонных полей [15]. В 90-х годах интегралы от рациональных функций, зависящие от параметров, были рассмотрены как обобщения интегрального представления Эйлера для бета-функции [2, 35] в многомерной теории гипергеометрических функций.
Несмотря на то, что асимптотика и характер ветвления интегралов от рациональных функций с параметрами были хорошо изучены в работах [3, 13, 16], для многомерного случая до недавнего времени были вычислены лишь единичные примеры интегралов такого вида [6, 14].
Один из способов вычисления интегралов от рациональных функций в одномерном случае заключается в нахождении первообразной для подынтегральной функции и последующем применении формулы Ньютона-Лейбница. Для вычисления первообразной подынтегральное выражение раскладывается на простейшие дроби, для которых первообразные легко вычисляются и представляют собой рациональную либо трансцендентную функцию
В многомерном случае, в соответствии с леммой Пуанкаре, для подынтегрального выражения интеграла, рассматриваемого как дифференциальная форма ш, всегда существует (п — 1)-форма ip, удовлетворяющая свойству dip = щи называемая первообразной, которая,
/ОО POO
/ ~ 1 , ..14 , ..02 , .Л2.Л2 dy2dy =
OcJ—OQ
г оо
/ОО

•оо
+ г/14 + ^ + 2/1^

1/1 + yl4 + ?/12 + у I6 TimeOf Calculation := 14
В данном примере интеграл не вычислился до конца, его кратность понизилась до 1.