Исследование и оптимизация многопараметрических алгоритмов для решения задач с седловыми операторами

• Автор: Быченков, Юрий Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 125 с.

Содержание
Введение

1 Линейные симметричные системы

§1.1 Постановки задач оптимизации

• §1.2 Оптимизация алгоритма в классе К

§1.3 Свойства некоторых классов функций

§1.4 Оптимизация алгоритма в классе Кх

§1.5 Оптимизация алгоритма в классе К

§1.6 Оптимизация алгоритма для нерегулярных задач .

2 Системы типа Навье-Стокса

§2.1 Постановка задачи
§2.2 Оценки скорости сходимости алгоритма

3 Системы с сильно монотонной нелинейной частью
§3.1 Постановка задачи
§3.2 Оценки скорости сходимости
Приложение
Заключение
Литература

Введение
Одной из простейших математических моделей динамики жидкости является модель стационарного течения вязкой однородной несжимаемой жидкости в объеме (области) £2 С (п = 2,3), которая описывается следующей системой уравнений в безразмерной форме
где / : Q —>• Шп - заданное отображение (вектор постоянных внешних массовых сил). Долгое время эта система оставалась за рамками строгого математического изучения, что тем не менее, не мешало эффективно использовать её для исследования в приложениях. Однако, в 60-х годах прошлого века, благодаря выдающимся трудам O.A. Ладыженской, был найден подход к математическому исследованию этой крайне сложной с математической точки зрения проблемы. В работах O.A. Ладыженской была впервые указана и обоснована корректная постановка задачи (1) (см. [22] и цитированные в ней ссылки). Дальнейшее развитие теории и, в особенности, методов численного решения задач (1) и ей подобных выявило тот факт, что существенную роль для теорем существования и необходимым условием сходимости многих алгоритмов играет, так называемое, условие
—V Ай + (й ■ V)« + Vp = /, х € Q, divw = 0, ж € О,
< й = 0, х € dQ,

Ладыженской-Бабушки-Брецци (ЛББ-условие) и его дискретные аналоги, имеющее вид
7 М < sup VpeL2(fî)/R, (2)
о/ие(я£(П))"

где = W2 (Р-) - пространство Соболева, ||-||:1 - норма в
этом пространстве, || || - норма в L2(n), а константа 7 > 0 зависит только от области Q.
Исследование практических и даже теоретических проблем на базе (1) приводит в основном к задачам неаналитического характера, поэтому с развитием вычислительных возможностей ЭВМ все сильней возрастает потребность в приближенном исследовании задач (1). При численном исследовании задачи (1) одним из самых распространенных подходов является аппроксимация исходной дифференциальной задачи конечномерной системой нелинейных алгебраических уравнений следующего ви-да
А{и) + Вр = /
В*и = g
где А(и) = —uAqu+N(u)u, В - дискретные аналоги операторов —иАй+{й-V)ü + -divû-ü, grad, a U Э и, Р Э р -конечномер-ные аппроксимации пространств (Щ(0,))п и L2(n)/R, при этом (A(u)v, v) ^ 0, и, V € U.
Такие системы уравнений относятся к классу, так называемых, задач с седловыми операторами, наиболее общая форма которых
' А(и) + Вр = /
В*и - С(р) = g { }
где А{и) и С(р) - абстрактные локально монотонные операторы в соответствующих евклидовых пространствах. Системы вида
Справедлив следующий результат Лемма 1.3.2. Имеют место:
1) При фиксированных а, Ь, с, d совокупность локальных минимумов функции h(x] а, Ь, с, d) является либо отрезком, либо совпадает с Ш;
2) ГС Y;
3) f £ F^P|YS тогда и только тогда, когда / £ и f обладает точкой строгого локального минимума.
Доказательство. Пусть а, b, с, d фиксированы, в этом случае
h(x] а, ö, с, d) будем обозначать как h(x). Пусть М - множество
локальных минимумов h(x).
1) Рассмотрим возможные случаи:
а) Пусть с2 - b2d < 0, тогда h(x) = а + Ъх| + у/Ъ2х2 + 2сх + d для всех яг £ М. Производная
h'{х) = 6 sgn (а + Ъх) Н— = С
л/Ь2х2 + 2ся; Т d
существует, отлична от нуля и непрерывна в точках х ф —а/Ь. Легко вычислить следующие пределы
lim h'{х) = —2|6|, lim h'(x) — 2|61,
х—>-оо ж—>+оо
Значит /i'(x) < 0 на (-оо, -а/b) и /i'(ar) > 0 на (—а/Ь,+оо), то есть h строго убывает на (—оо, —а/b] и строго возрастает на [—а/Ь,У оо), а М = {—а/Ь}.