Геометрическое моделирование с использованием составных кривых и поверхностей Безье

• Автор: Григорьев, Михаил Игоревич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 126 с. : ил.

Содержание
Введение

Глава I. Кривые Безье

§1. Полиномы в форме Бернштейна

§2. Кривые Безье

§3. Построение составных кривых

§ 4. Проективные кривые Безье

§ 5. Классификация проективных кривых Безье второго порядка

§ 6. Поле замкнутых кривых Безье

§ 7. Обобщённые кривые Безье

Глава II. Поверхности Безье

§ 8. Поверхности Безье на четырёхугольнике
§ 9. Составные поверхности Безье
§ 10. Проективные поверхности Безье на четырёхугольнике
§ 11. Построение поверхностей тора и сферы
§ 12. Обобщённые поверхности вращения
§ 13. Полиномы Бернштейна от двух переменных

§ 14. Полярная форма полиномов от двух переменных
§ 15. Основная лемма теории полярных форм
§ 16. Поверхности Безье на треугольнике
§ 17. Сшивка поверхностей Безье
Литература .'
Приложение. Моделирование кривых и поверхностей

Введение
Геометрическое моделирование (компьютерная геометрия, Computer Aided Geometric Design, CAGD) — относительно молодое направление в прикладной математике, выделившееся в 60-70-х годах прошлого века. Оно объединило некоторые идеи из геометрии и вычислительной математики на базе компьютерных технологий. В геометрическом моделировании изучаются методы построения кривых, поверхностей и тел, а также способы выполнения над ними различных операций. Компьютерная геометрия используется, в частности, при разработке систем автоматического проектирования.
К настоящему времени опубликованы несколько монографий по геометрическому моделированию [27, 28, 36, 38, 41, 42, 46, 48], в том числе — две на русском языке [4, 5]. Книга Фарипа [33] выдержала пять изданий. С 1984 года выходит специализированный журнал «Computer Aided Geometric Design».
Своим появлением геометрическое моделирование обязано, прежде всего, развитию вычислительных средств. До появления компьютеров процесс проектирования осуществлялся при помощи начертательной геометрии, был долгим и грубым. Вычислительные возможности компьютеров позволили создавать численные модели из оцифрованных с чертежей данных. При этом использовались классические методы интерполяции и аппроксимации. Кроме этого, были предложены подходы, позволяющие строить объекты сразу на экране компьютера, с нуля.
Значительный вклад в становление данного направления внесли П. Безье и П. Кастельжо [1, 19, 29]. Они предложили простой и эффектив-

Воспользуемся отображением

р(1 — у) +
(5.8)

резка [0,1] на себя при р = угвгс обратным отображением
у = т
(1 — и) + ри
Зафиксируем и Є [0,1] и представим его в виде (5.8). Подставив (5.8) в (5.1), получим
гу0 р2 (1 — и)2 ао + 2 ги р (1 — у) V аі + гп2 V2 а2
Ы(гг)
гсо Р2 (1 — у)2 + 2 ид р (1 — г>) г> + гс2 у2
_ гс2 (1 — и)2ао + 2г«і ю2/ш0 (1 — у) улх + гс2 у2 а2 гп2 (1 — у)2 + 2 и) у/шг/щ) (1 — у)у + іу2у2
После деления числителя и знаменателя на гс2 придём к равенству Л(и) = И(г’), которое гарантирует, что ИсИ.
Для проверки обратного включения зафиксируем у Е [0,1] и представим его в виде (5.9). Подставив (5.9) в (5.6), получим
й = а-И)2ао+2у(1-Ц)Ма1+аа
(1 — и)2 4- 2 ги р (1 — и) и + р2 и2
Отметим, что 'Ш р ~ гиі/гсо- После умножения числителя и знаменателя дроби (5.10) на гсо придём к равенству Н(г>) = К(и), которое гарантирует, что К С К.
Предложение доказано. □
Говорят, что проективная кривая Безье (5.6) имеет стандартную форму. Согласно предложению 5.2 любая проективная кривая Безье второго порядка может быть приведена к стандартной форме.