Оценки точности и итерационные процессы для смешанных методов конечных элементов решения квазилинейных эллиптических уравнений

• Автор: Гогин, Алексей Павлович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 108 с.

Оглавление
Введение

Глава I. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

§ 1. Постановка задачи с монотонным оператором

§ 2. Постановка задачи с сильно монотонным оператором

§ 3. Смешанная постановка задачи

§4. Аппроксимация пространства Нч(Ліу, £7)

§ 5. Дискретизация смешанной задачи

Глава II. СМЕШАННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С МОНОТОННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ

§1. Разрешимость приближенной задачи

§ 2. Слабая сходимость решений приближенной задачи

§ 3. Сильная сходимость «потоков», построенных по решению приближенной задачи
Глава III. СМЕШАННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С СИЛЬНО МОНОТОННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ
§ 1. Единственность решения приближенной задачи
§ 2. Оценки точности приближенного метода
Глава IV. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ СМЕШАННЫХ СХЕМ
§1. Задача с сильно монотонным оператором
§ 2. Итерационный метод для решения приближенной задачи с сильно
монотонным оператором
§ 3. Модификация итерационного метода
§ 4. Исследование сходимости итерационного метода
§ 5. Численные эксперименты
§6. Итерационный метод решения задачи с монотонным оператором .
§ 7. Модификация итерационного метода
§ 8. Численные эксперименты
Литература

Введение
1. Актуальность темы. Метод конечных элементов в настоящее время является одним из основных инструментов для решения различных задач математической физики. Среди преимуществ этого метода, сочетающего в себе лучшие качества разностных и вариационных методов: универсальность, сравнительная простота применения в областях сложной формы, использование различных сеток, удобство для программирования. Основные аспекты теории методов конечных элементов изложены в том числе в работах [1,6,15-17,26,27,43,48,53,54]. Кроме того, методы конечных элементов для решения различных задач механики сплошных сред рассмотрены, например, в [50,52,66].
Классические схемы метода конечных элементов подразумевают использование лагранжевых и эрмитовых элементов. Объем вычислительной работы при реализации таких методов в общем случае может быть очень большим. Кроме того, часто при решении конкретных задач математической физики возникает необходимость в вычислении различных неизвестных, связанных с производными искомого решения. Такими неизвестными могут быть: поток в задачах термодинамики, напряжение в задачах теории упругости, изгибающие моменты в задачах об изгибе тонких пластин и т.д. Использование классических методов в этом случае приводит к разрывной аппроксимации этих неизвестных (см., например, [54]). На пути решения данных проблем были предложены специальные разновидности схем МКЭ: смешанные методы конечных элементов (СМКЭ), а также смешанно-
К_ за исключением е. Далее, пусть d С öwe. Тогда вектор (х — Р±) тангенциален d для всех х Є d, то есть уэй(ж') • = 0 для каждо-
го d С дій,.. Рассмотрим ребро е. Если і є е, то (г - Р±) • ие есть высота треугольника К±, которая равна 2К±/е. Таким образом, іре(х) ■ ие = 1.
Покажем, что {<де}еЄ£(і является базисом пространства RTo(Th). Убедимся в том, что любая функция из RTq(Th) представима в виде линейной комбинации функций {ipe}ee£h единственным образом. Для любой функции (ц,. € RTo(Tii) определим
Ph = qn -
і'Є£н
Тогда из (17) следует, что р/, ■ ve = 0 для всех е Є £/,. Пусть, далее, К Є Ті, — треугольник со сторонами е, Є2, ез и противолежащими им вершинами Р, Р2, Pi. Тогда на любом элементе К є Th в силу (17)
ph(Pj) ■ Vek = 0, к = {1,2,3}{j}
в вершине ж = Pj противолежащей ej. Таким образом, р/, = 0 на 7л-Далее, покажем, что система функций {(рс{)е^£к — линейно независима. Пусть
Ph(x) = Y1 сеТ-(х) = 0, ж Є П,
где {Celeef* — множество вещественных коэффициентов. Но из (17) следует, что для любого ребра d Є Sh
о = = Cd( Таким образом, {сpe}eesh — базис пространства RTo(Th).
Аналогичным образом можно определить базисные функции пространства RTo(Ti,) в трехмерном случае. Пусть К € Th — тетраэдр, е — общая грань двух соседних элементов триангуляции К_ и К+,