Конечно-разностные методы решения уравнений с малым параметром

• Автор: Задорин, Александр Иванович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1985
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 132 c. : ил

ГЛАВА I. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО

УРАВНЕНИЯ СО ЗНАКООПРЕДЕЛЕННЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ

ПРИ ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ

§ I. Построение семейства монотонных схем для

первой краевой задачи

§ 2. Равномерная сходимость разностной схемы

на неравномерной сетке

§ 3. Коэффициентная устойчивость разностных

схем

§ 4. Анализ сходимости схем построенного семейства на равномерной сетке

§ 5. Разностная схема для третьей краевой задачи

§ 6. Сочетание краевой и начальной задач
§ 7. Построение неравномерной сетки
Глава II. О ПЛОХОЙ ОБУСЛОВЛЕННОСТИ В СЛУЧАЕ ЗНАКОПЕРЕМЕННОГО КОЭФФИЦИЕНТА ПРИ ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
§ 8. Анализ обусловленности системы разностных уравнений. Исследование метода прогонки для плохо обусловленной задачи
§ 9. Результаты численных экспериментов
Глава III. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ
§ 10. Сходимость разностной схемы для дифференциального уравнения со слабой нелинейностью

§ II. Разностная схема для квазилинейного дифференциального уравнения
§ 12. Анализ применимости построенных схем
к решению уравнений химической кинетики
ПРИЛОЖЕНИЕ. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ
§ 13. Численное решение первой краевой задачи .. 104 § 14. Численное решение третьей краевой задачи . 109 § 15. Сочетание краевой и начальной задач
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

В раз,личных областях науки и техники, например, при расчетах движения вязкой жидкости, распространения тепла, при изучении процессов горения, возникает потребность в решении уравнений с малым параметром £ при старшей производной. Такие уравнения являются сингулярно-возмущенными в силу того, что цри их вырождении теряется часть краевых условий. По этой причине происходит резкое изменение решения сингулярно-возмущенной задачи в некоторых узких (погранслойных) областях.
При использовании классических разностных схем для решения уравнений с малым параметром при старшей производной обнаруживается, что эти схемы дают достаточную точность, если шаг сетки значительно меньше величины малого параметра. Это приводит к трудностям при проведении практических расчетов, так как использование достаточно мелкой сетки не всегда возможно из-за ограниченных возможностей современных ЭВМ. Возникает необходимость в построении разностных схем, обладающих свойством равномерной сходимости относительно малого параметра. Разностные схемы целесообразно строить на неравномерной сетке, если требуется информация о решении в узкой погранслойной области.
Степень разработанности пробле-м ы. Большую роль при построении и исследовании разностных схем для сингулярно-возмущенных уравнений играют асимптотические методы. А. Пуанкаре [бз] предложил разложить решение в ряд по малому параметру £ и искать решение в виде частичных сумм этого ряда. Однако в случае сингулярного возмущения такой ряд теряет свойство равномерной сходимости. М. Лайтхилл [10б] разработал метод деформированных координат. Впоследствии этот метод стали называть методом ПЛГ (Пуанкаре, Лайтхилла, Го) [57]. В соответствии с

Нетрудно убедиться, что найдется С7 :
Ь^ехрС-ссбе’СьЬгНнн^^-ехрС-ссбе^^)]« с7.
Учитывая представление решения (2.5), можно показать, что ЭС8:
Iи.'(0-[иСО-иО-Ьи-н)]^!, I < С8Н.
Итак, 3 Сэ :
ЦП« « С9Ь(^г + у5 + у4) + СфЬ-бфИ.
Поэтому Ц Унн $ О , если
Таким образом^можно подобрать такие ограниченные постоянные уI, ( I = 1,2, ... , 5), что будут выполнены неравенства (5.9). В силу принципа максимума ^ 0 , хп <=■ Я. . Отсюда следует (5.12).
Рассмотрим теперь случай И ^ С 5 , где С 5 соответствует (5.13). Согласно (5.2) ЭСЮ • Ни 11$ С10 • В силу леммы '
ЗСМ • II 1хь II $ Си . Откуда
11[ц]и- иь11=И1и1М1ин11« С„+С„.
Получаем требуемую оценку (5.12) с С=(Сш + С «)Св.
Теорема доказана.