Исследование структурных свойств операторов прикладного гармонического анализа

• Автор: Беспалов, Михаил Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Владимир
• Количество страниц: 257 с.

Содержание
Введение

1 Система Уолша

1.1 Функции Радемахера и Уолша

1.2 Групповое свойство функций Уолша

1.3 Дискретные функции Уолша

1.4 Ядро Дирихле

1.5 Константы Лебега

1.6 Перестановки системы Уолша

1.7 Обобщение систем Уолша

2 Преобразование Уолша

2.1 Преобразование Уолша в Ь
2.2 Обобщенное ядро Дирихле
2.3 Интегрирование в двоичном анализе
2.4 Преобразование Уолша в
3 Дискретное преобразование Уолша
3.1 Основные виды ДПУ
3.2 Новое тензорное произведение матриц
3.3 Линейные перестановки матриц ДПУ
3.4 Генерирование матриц ДПУ
3.5 Базис собственных подпространств
3.6 Быстрый алгоритм дискретного преобразования Уолша
3.7 Фрейм Парсеваля для дискретного преобразования Уолша
3.8 Спектральное разложение несимметричных ТУ-матриц

4 Дискретное преобразование Фурье
4.1 Спектральное разложение оператора ДПФ
4.2 Быстрое преобразование Фурье
4.3 Вычисление точных тригонометрических сумм с помощью ДПФ
5 Система Крестенсона-Леви
5.1 Ряд Фурье по системе Крестенсона-Леви
5.2 Преобразование Крестенсона-Леви
5.3 Дискретное преобразование Крестенсона
Заключение
Литература

Введение
Совершенствование вычислительной техники и разработка новых методов цифровой обработки информации в качестве приоритетного направления прикладных математических исследований выделяет прикладной гармонический анализ. Уточним разделы математики, относящиеся к прикладному гармоническому анализу.
Одним из основных разделов теории функций служит классический гармонический анализ, включающий тригонометрические ряды Фурье в действительной и комплексной форме и преобразование Фурье. Наиболее полное изложение теории рядов Фурье приведено в книгах Бари [9] и Зигмунда [41], а преобразований Фурье в книге Титчмарша [98].
В последнее время широкое распространение получил двоичный гармонический анализ [24, 141], в рамках которого изучаются ряды Фурье по системе Уолша (введенной в [149]) и преобразования Уолша (введенные в [123]). Естественным обощением двоичного служит р-ичный гармонический анализ, где изучают ряды Фурье по системе, которую одни авторы [28] называют системой Крестенсона-Леви, а другие [40, 97] Виленкина-Крестенсона. Следующим обобщением системы Крестенсона-Леви служат мультипликативные системы функций, предложенные Виленкиным [15] как система характеров на группе и введенные Прайсом [138] в виде системы функций. Более подробно Виленкин описал этот класс функций в "Дополнении" к книге [44]. Континуальный аналог этой системы (введенный в терминах групп Виленкиным [16]) принято называть [28] мультипликативное преобразование Фурье. Отдельными авторами рассматривались дальнейшие обобщения как рядов (о чем подробнее в [1]), так и интегральных преобразований (в [37] рассмотрены А-мультипликативные преобразования). В рамках гармонического анализа на абелевых группах [140] и абстрактного гармонического анализа [107] все эти системы и преобразования могут быть рассмотрены как основные частные случаи. Свойство мультипликативности как множества аргументов, так и множества функций, позволяет рассматривать их в виде взаимно двойственных систем характеров в рамках теории двойственности Понтрягина [82], более просто изложенной в [76]. Данные объекты можно отнести к непрерывной составляющей прикладного гармонического анализа.
В технических приложениях широкое распространение нашло [40, 42] дру-

же в старшем разряде срезки стоит число 1 {щ = 1), то двоичное представление отклонения получается из двоичного числа га;П;_і... га2гаі по известному в информатике правилу построения дополнительного кода: все разряды инвертируются и добавляется 1.
Лемма 1.11 (свойства отклонения).
1. Величина < п >і не превосходит 21-1.
2. Отклонение выражается через отклонение чисел предыдущей пачки предыдущего ранга, а именно:
для четных чисел < 2п >*= 2■ < п >*_і,
для нечетных чисел < 2га + 1 >*=< п >*_і + < п + 1 >і-і-
3. Если 2т~1 <п< 2,п, то < п >т= 2т — п и < п >*= п при г > т. Доказательство. Первое утверждение вытекает из определения отклонения. Второе утверждение для четных чисел очевидно по свойствам срезки:
< 2п >і= тіп([2пі, 2’ — [2пі) = тггг(2[п]{_ь 2(2!_1 — [га]<_і)) = 2■< п >,-_г.
Докажем утверждение: [п]г_і + [га + 1]і_і = [2п + 1]і, если [«.];_і ф 2і — 1, которое установлено в случае четного га.
Если га нечетное и [га],_і отличается от максимально возможного, то обозначим к номер младшего нулевого разряда; то есть к < г — 1 такое, что П — П2 = ... = Пк_і = 1, щ = 0 в (1.1) для га. Итак, в двоичной системе счисления числа [га];_і и [га + 1]і_і имеют вид щ-1... «ь+іОИ ... 1 и пг_і... га^+ДОО... О соответственно.
Сложение двух таких чисел в двоичной системе счисления осуществляется по правилу, которое можно проиллюстрировать следующей схемой
аЬсйе Г 0 1 1 1
аЬсбе 110000 аЬсйеГ011
То есть переход от числа [п]і_і к сумме осуществили по правилу: сдвинули все разряды на одну позицию влево и поместили 1 в образовавшемся младшем разряде. Так же осуществляется переход от числа [п];^ к числу [2га + 1];.
Отсюда получаем второе утверждение для отклонений: если [п]і-і < 21“2, то < га >,--і + < га + 1 >і-і= [н]і_і + [га + 1]*_і =< 2га + 1 >*; если 2,_2 < [га]і_і < 2г_1 — 1 , то
< га >г_і + < га+1 >і_і— (2і 1 —[га]і_і)+(2* г —[га+1]і_і) = 2'—[2га+1]і =< 2га+1 >г-;