Приближенное решение задачи Гурса для гиперболического уравнения и задачи Трикоми

• Автор: Кязимов, Джаваншир Кязим оглы
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Баку
• Количество страниц: 138 c. : ил

Глава I. Приближенное решение задачи Гурса для вырождающихся линейных гиперболических уравнений

§1. Оценки погрешности

§ 2. Задачи условной минимизации

§ 3. Вычислительная схема

§ 4. Об устойчивости вычислительных процессов при использовании метода математического программирования
Глава II. Приближенное решение задачи Гурса для квазилинейных уравнений гиперболического типа

§ I. Предварительные сведения и оценки погрешности

§ 2. Задачи условной минимизации

§ 3. Вычислительная схема

Глава III. Приближенное решение задачи Трикоми для линейных дифференциальных уравнении смешанного типа

§ I. Оценки погрешности

§ 2. Задачи условной минимизации
§ 3. Вычислительная схема
Глава IV. Приближенное решение задачи Трикоми для одного класса квазилинейных дифференциальных уравнений
смешанного типа
§ I. Оценки погрешности
§ 2. Задачи условной минимизации
§ 3. Вычислительная схема
Заключение
Литература

Одним из важных направлений в вычислительной математике является создание эффективных численных методов и алгоритмов решения уравнений в частных производных. В последние десятилетия это направление особенно бурно развивается в связи с необходимостью решения крупных научно-технических проблем и появлением быстродействующих электронно-вычислительных машин.
Настоящая диссертация посвящена вопросам построения приближенных решений и оценки погрешностей уравнений в частных производных второго порядка, в основном для уравнений вырождающегося гиперболического, гиперболического и смешанного типов. В многочисленных задачах, в газовой динамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей вращения, в безмоментной теории оболочек и других приводятся уравнения с частными производными гиперболического и эллиптико-гиперболического типов.
Околозвуковые течения описываются уравнениями с частными производными смешанного типа. Начало теории таких уравнений было положено Трикоми еще в 1923 г., а ее интенсивное развитие за последнее время явилось откликом на потребности аэродинамики больших скоростей.
Изучение приближенного решения, , вывод оценки погрешностей представляют большой практический и теоретический интерес.
Использование методов математического программирования для приближенного решения задач Еурса и Трикоми дает возможность найти приближенное решение в удобном виде, т.е. в виде линейных комбинаций базисных функций. Кроме того, если в рассматриваемых задачах уравнения нелинейные, то возникают принципиальные трудности.
Задачи Гурса и Трикоми для линейных и нелинейных уравнений

эллиптико-гиперболического типа подробно освещены в книгах Л.Берса [б] , А.В.Бицадзе [7] , [в] , М.М.Смирнова [47] , [йв] , [49], Ф.И.Франкля [бб] и во многих журнальных статьях.
Прежде чем перейти к изложению содержания диссертации, вкратце остановимся на некоторых работах, к которым по тематике и методике исследования примыкает настоящая диссертация.
В книгах М.М.Смирнова [48] , [49] применяется метод Римана-Адамара решения задачи Гурса для вырождающихся линейных гиперболических уравнений. Доказаны существование и единственность обобщенного решения. В книгах М.М.Смирнова [48] и А.В.Бицадзе [?] . [в] систематически изучены задачи Трикоми для уравнений смешанного типа.
Л.й.Коваленко [2б] , [27] с помощью метода сеток доказала существование и единственность обобщенного решения задачи Трикоми для уравнения
К(у)1Лхх-*Щу + (Х(эс,у)их + 4(х,у)г1у +С(х,у)и^(х,у)?

К(у)=в$п у1уГ<Кд) , т>о, ср(у) >О,
при некоторых ограничениях на коэффициенты (X. » & » С и К . Д.К.Гвазава [ж] , [ж] для квазилинейного уравнения
у 'М.х х + ^уу - (-Х-1 у ■>
доказал существование и единственность решения задачи Трикоми при некоторых предположениях на ^(ос,у> и).
В работах Ф.А.Тагиева и др. [50] , [51] рассмотрена задача Трикоми для линейного уравнения смешанного типа, методом конеч-
ІЬ{{с = тсмс _ I
(хі,Ц)є%> Таблица
и Л = ЗІ /1 = 50 п
4 0.5000000 0.5000000 0.5000000
6 0.8750000 0.8750000 0.8750000
8 0.8750001 0.8750001 0.8750001
10 0.8750000 0.8749999 0.8749977
12 0.9895105 0.8749990 0.8749977
15 0.9999976 0.9999987 0.9999889
21 0.9999990 0.9999874 1.000024