Оценки погрешности методов Ланцоша и Арнольди в точной и машинной арифметике

• Автор: Книжнерман, Леонид Аронович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 255 с. : ил.

Оглавление

Краткое описание проблемы и основных результатов

1 Введение

1.1 Семейство крыловских методов

1.2 Метод Арнольди. Роль теоретического использования поля

значений и операторного спектра

1.3 Метод Ланцоша. Роль теоретического использования че-

бышёвских рекуррентных соотношений

1.4 Структура и обзор содержания диссертации

Часть I Методы Ланцоша и спектрального разложения

Ланцоша в точной арифметике: неадаптивные оценки

2 Метод спектрального разложения Ланцоша в точной арифметике
2.1 Введение
2.2 Метод операторных рядов Чебышева
2.3 Метод спектрального разложения Ланцоша: оценка погреш-
ности в терминах коэффициентов смещённого ряда Чебышева вычисляемой функции
2.4 Приложение к решению задачи Коши для параболического
уравнения
2.5 Приложение к решению задачи Коши для гиперболического уравнения

2.6 Приложение к решению краевой задачи для эллиптическо-
го уравнения с коэффициентами, не зависящими от одной переменной
2.7 Приложение к решению задачи Коши для параболического
уравнения методами расщепления
2.8 Краткие выводы
3 Метод Ланцоша в точной арифметике
3.1 Введение
3.2 Оценка качества аппроксимации собственного значения, не
учитывающая отделённость
3.3 Оценка качества аппроксимации собственного значения, учитывающая отделённость
3.4 Краткие выводы
Часть II Методы Ланцоша и спектрального разложения Ланцоша в машинной арифметике
4 Метод спектрального разложения Ланцоша в машинной арифметике
4.1 Введение
4.2 Начальные сведения о простом процессе Ланцоша
4.3 Возмущённые чебышёвские рекуррентные соотношения
4.4 Оценка погрешности метода спектрального разложения Ланцоша в машинной арифметике
4.5 Пример запуска
4.6 Краткие выводы
5 Феномен Ланцоша и расположение чисел Ритца
5.1 Введение
5.2 Феномен Ланцоша без учёта отделённости

5.3 Кластеризация чисел Ритца
5.4 Феномен Ланцоша с учётом отделённости
5.5 О числе элементов промежуточного кластера
5.6 Числа Ритца на последовательных шагах Ланцоша
5.7 Результаты численных экспериментов
5.8 Конкретизированная форма теоремы 5.
5.9 Краткие выводы
6 Гауссова квадратурная формула, порождаемая простым процессом Ланцоша, и её приложения
6.1 Введение
6.2 Скалярные произведения матричных многочленов Чебышёва
6.3 Оценки погрешности гауссовой квадратурной
формулы и родственные утверждения
6.4 Возможные приложения
6.4.1 Вычисление (/(А)<р,(р)
6.4.2 Решение некорректных задач с помощью вариационной регуляризации
6.4.3 Феномен Ланцоша
6.5 Краткие выводы
Часть III Методы Арнольди и спектрального разложения
Арнольди: неадаптивные оценки
7 Метод спектрального разложения Арнольди: общие оценки
7.1 Введение
7.2 Описание метода
7.3 Разложение в ряд Фабера
7.4 Возмущённые фаберовские рекуррентные соотношения
спектру. Получены результаты о сходимости на подпоследовательностях шагов процесса Ланцоша или Арнольди в ситуациях, когда процесс сходиться в обычном смысле не обязан. Проанализирована эффективность квадратуры Гаусса-Арнольди.
Личный вклад автора. Результаты гл. 2 получены совместно с В. Л. Друскиным. Использование разложения в ряды Чебышева и специальных функций предложено и осуществлено лично автором (В. Л. Друс-кин оценивал коэффициенты нужных рядов Чебышева с помощью сведения к оценке погрешности разностных схем для обыкновенных дифференциальных уравнений, см. [93, § 5]).
Результаты гл. 3 получены совместно с В. Л. Друскиным. Выкладки, связанные с многочленами Чебышева, проведены лично автором.
Результаты гл. 4 также получены совместно с В. Л. Друскиным. Техника возмущённых чебышёвских рекуррентных соотношений принадлежит автору.
Гл. 5 содержит, в частности, результат про феномен Ланцоша без учёта отделённости, полученный совместно с В. Л. Друскиным, а также результат В. Л. Друскина, Э. Гринбаум и автора о расположении чисел Ритца на последовательных шагах Ланцоша.
Разумеется, результаты из совместных статей, полученные без участия автора, в диссертацию не включены.
Теоретическая и практическая значимость: результаты диссертации дают пользователям (математикам и программистам):
• принципиальную уверенность в том, что обсуждаемые методы при установленных условиях работают. В частности, прояснены классы матричных функций, к вычислению которых можно применять методы спектрального разложения Ланцоша и Арнольди;
• возможность априори оценивать объём вычислительной работы, достаточный для решения конкретной задачи, а также, зная вид ана-