Алгоритмы вычисления цилиндрических функций Бесселя и их нулей в комплексной области

• Автор: Скороходов, Сергей Леонидович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 133 c. : ил

ГЛАВА I. Вычисление цилиндрических функций Бесселя
в комплексной области
§ I. О вычислении цилиндрических функций
Бесселя
§ 2. Вычисление функции {£)■
§ 3. Вычисление функции 7 р
§ А. Об асимптотических формулах для
цилиндрических функций
ГЛАВА II. Комплексные нули функций (3L); J р
и их производных
§ I. Вычисление нулей функций %(*) и
I,»
§ 2. Вычисление нулей производных (£)
. и г; (г).
§ 3. О двойных нулях производных функций
(%) И Jp (g)
ГЛАВА III. Комплексные нули функции
ее производных
§ I. Вычисление нулей функции
случае 9 (7.
§ 2. Вычисление нулей производной Y#. (*)
в случае $7/ 0
§ 3. О комплексных нулях функции Y->) т,
Ь,0
§ 4. О комплексных нулях производной Y.ç(x),
1 >,0.

§ 5. О двойных нулях производных
функции Уд (£)
Глава IV. Комплексные нули функций Ханкеля /У, (з)
Нр 2) » функции Бесселя УСЧ (з)
и их производных
§ I. Вычисление нулей функций (?),
. {£) и
§ 2. Вычисление нулей производных // . (Зг)
Н^}/(£) и к') (*)
Заключительные замечания
Заключение
Литература
Таблицы
Иллюстрации

Цилиндрические функции Бесселя являются самыми распространенный из всех специальных функций. Они имеют многочисленные приложения во всех естественных и технических науках ( особенно в астрономии, механике и физике ). В ряде задач математической физики ( см., например [39] , [40] , [55]^ [7б] ) встречаются цилиндрические функции, в которых аргумент или индекс ( иногда и тот и другой ) принимают комплексные значения. Для численного решения таких задач необходимо разработать алгоритмы, позволяющие вычислять функции Бесселя с высокой точностью. В большинстве опубликованных работ, посвященных вычислению функций Бесселя, рассматривались случаи, когда: а) индекс и аргумент принимают действительные значения; б) индекс принимает целые или действительные значения, а аргумент - комплексные значения; в) индекс принимает чисто мнимые значения, а аргумент - действительные значения. При этом применялись различные методы вычислег ния: разложения в ряды [47, с.375^ , рекуррентных соотношений
[27] , [70] , [71] , [46] , квадратурных формул [61] , [5^ , [60] , [66] , [43] , [51] , [53] , [29] , [44] , [81] , а также другие методы аппроксимации [22] , [60]
Для общего случая, когда индекс и аргумент принимают комплексные значения, опубликована работа [7] , в которой применяется метод перевала к интегралу Сонина-Зоммерфельда для бесселевых функций [21] . Однако реализация этого метода оказалась довольно сложной, а основанная на нем ФОРТРАН-программа работает очень медленно и имеет небольшую точность.
Укажем также следующие работы, в которых изложены алгоритмы или содержатся программы: работа [зо] содержит программу на язы-

в начало координат.
Необходимо отметить, что т[Щ^&(0Р1) решение £_(9) Б (2.3.9) является чисто мнимым, однако рассмотренный чисто мнимый нуль <^(9) функции У/ (А) обладает свойством
()>))> | при ^ ^-) ;
поэтому двойных нулей функции У^ (%) при Уб(Ц>£) не будет.
При дальнейшем уменьшении 9 , 0) » рассматриваемый нуль функции С/у (%) опять выходит из начала координат по положительной оси, ’’сталкивается" в точке А с движущимся ему навстречу одним из нулей при Уо = -0.19937 07810 и образует двойной нуль. Далее, при 9 ^ Л эти столкнувшиеся нули разлетаются в комплексную плоскость (аналогично фиг. 4), движутся по ней и входят в начало координат при ])->-£
При дальнейшем уменьшении > , Рб (-1 -£)одт из нулей

функции ^ (£) выходит из начала координат по положительной оси, при 9^ = -1.41474 7864 сталкивается в точке В на кривой I (см. фиг. 6 и фиг.7) с одним из счетного числа нулей, движущихся ему навстречу, и образует двойной нуль. Затем, при уменьшении 9 , р ^ ^ этот двойной нуль распадается на два простых, разлетающихся в комплексную плоскость и движущихся по ней (см. фиг.7). При 9^ = -1.99160 8816 эти два нуля сталкиваются опять на вещественной оси, но уже на кривой II (см. фиг.6) в точке С и образуют опять двойной нуль. При дальнейшем уменьшении 9 , 9^. 9, этот двойной нуль распадается на два
простых положительных нуля, один из которых входит в начало координат при 9 -*■ - & , а второй - в определенную точку %) ,
соответствующую первому положительному нулю функции ^ [%:) ,
так как нули функций (%) и У.^ (%)» т» 2, ..., совпадают, что верно и для производных.