Хорошо обусловленные методы построения сплайнов высоких степеней и сходимость процессов интерполяции

• Автор: Волков, Юрий Степанович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 198 с.

Глава 1. Ленточные системы уравнений

1.1. Определения и обозначения

1.2. Оценивание тах-нормы обратной матрицы

1 3. Оценки элементов обратных ленточных матриц

1.4. Условия нео1рицательности решения трёхдиагональной сипе-мы уравнений при наличии диа1 онального преобладания по столбцам
1.5. Условия неотрицательности решения системы уравнений с симметрической циркулянтной матрицей

Глава 2. Системы определяющих уравнений для построения интерполяционных сплайнов

2 1. б-сплайны и их свойства

2 2 Линейные соотношения, связывающие значения сплайна и коэффициенты б-силайн-разложения ею производных

2 3. Системы определяющих уравнений. Периодический случай

2.4. Системы определяющих уравнений. Полный сплайн

2 5. Соотношения линейной зависимости между разрывами старшей
производной и значениями сплайна
2 6 Вычисление элементов и свойства матриц определяющих систем
уравнений .
Глава 3 Устойчивые методы построения сплайнов малых степеней
31 Кбические сплайны
3 2 Си тайны ияпш степени

Глава 4. Оценки погрешности приближения производных интерполяционных сплайнов и их сходимость
4.1. Оценка ес использованием разложения s(i) по /^-нормализованным ß-сплайнам
4.2. Оценка с использованием разложения по L[-нормализованным ß-сплайнам
4.3. Оценка погрешности приближения старшей производной
4.4. Решение проблемы де Вора
4.5. Эквивалентность условий сводимоеiи процессов интерполяции
для производных степени А; и 2п — А;
Глава 5. Условия изогеометрической интерполяции
5.1. Монотонность кубических сплайнов
5.2. Положительность интерполяционных сплайнов
5.3. Условия fc-монотонности кардинальной интерполяции
Глава 6. Об интерполяции сплайнами чётной степени
6.1. Задача интерполяции сплайнами чётной степени
6.2. Системы определяющих уравнений
6.3. Оценки погрешностей приближения производных
6.4. Интерполяция сплайнами четвёртой степени
Заключение
Литература

Рассмотрим задачу интерполяции некоторой функции / по значениям {/,}, известным в некоторых точкахогрезка [а,Ь]. Ещё совсем недавно стандартным решением такой задачи выступали интерполяционные многочлены Лагранжа, но теперь наиболее распространённым решением являются полиномиальные сплайны, т. е. кусочно-многочленные функции. Сплайнами принято считать функции, являющиеся на иодотрезках отрезка [а, Ь) многочленами обычно одной и той же пепени, называемой степенью сплайна. Точки сопряжения разных многочленов, составляющих сплайн, называют узлами сплайна. Естественно, сплайны одной и той же степени могут различаться гладкостью или дефектом (разностью между степенью и гладКусочно-многочленные функции появились в теории приближений в разных видах очень давно, в современном виде аппроксимация сплайнами появилась в статье И. Шёнберга [164], но началом бурного развития сплайнов, внедрением в вычислительную математику, пожалуй, можно считать 1957 год, открытие Дж. Холлидеем [135] свойства минимума кривизны.
Теорема 0.1 (Дж. Холлидей). Среди всех функций /, имеющих на отрезке [а, 6] непрерывную вторую производную, и таких, что ф(х,) = і = 0,, т. е. принимающих заданные значения, кубический сплайн 5 с узлами в точках х,, для которого я"(а) = вДб) = 0, минимизирует интеграл
Раньше инженеры и черіожники в практической работе для проведения плавных кривых черо і имеющий я точки ча<то использовали і ибкую рейку и полчали превосходные результаты, чеіо не іксі да можно бы ю добпгыя ікноіьдя шпорно іяпию чноїоч тепами и пі лекала Окаїьшаекя июінукостью).

Из вектора ж образуем серию векторов х(")
0 ^ п ^ N/2, но следующему правилу
(„) п^і-у^М-п,
Т] '
0, в противном елучае.
Это означает, что х*") = ж, ш(|) отличается от ж тем, что ж*1} = 0, и т.д.
Рассмотрим структуру вектора Аж*"). Поскольку ненулевыми компонентами вектора х-"'1 являются элементы матрицы Л-1, то (Аж*")), — о при тп + п ^ г — у| ^ N — гп — п. С другой стороны, если п > т, то (Аж*")), = 0 при і —у| < п — т в силу ленточности матрицы А с шириной ленты т.
Если п ф 2т, то множества индексов, где элементы векторов Аж*") и Аж*"-2”1) отличны от нуля, не пересекаются, т. е.
{г | (Ах<">), ф О} П {г | (Аж*""2'")), ф о} = 0,
поэтому
ЦАж^ЦЧЦАж*"-2"')!!4 = ||Аж(п)-Аж(,,-2,")||';
4 " П (1.27)
= 1|а(ж*")-ж<"-2'">)ц;.
Аналогично, множества индексов, где элементы векторов ж*") и ж*”-2"') — ж*'1* отличны от нуля, не пересекаются, т.е.
{г | хп) ф О} р) {* | ж|,!) ф ж)’'“2"11} = 0,
следовательно
1|ж<",|[:;+||ж(" 2"')-ж(")||;; = ||ж1"-2'")ц;;. (і.28)
Таким обрашм, имеем