Вычислительные тензорные методы и их применения

• Автор: Оселедец, Иван Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 205 с. : ил.

— %г-
СОДБРЖАНИЕ
Введение

1.1 Многомерные массивы и их представления

1.2 Используемые обозначения и понятия

1.3 Основные результаты работы

Глава 1. ТТ-разложение и его свойства

1.1 Введение

1.2 Каноническое разложение, разложение Таккера и

их свойства

1.3 Две основные леммы

1.4 Иерархическое разложение Таккера
1.5 Связь с тензорными сетями
1.6 Основные свойства ТТ-разложения
1.7 Округление в ТТ-формате
1.8 Матрицы в ТТ-формате
1.9 Основные операции в ТТ-формате
1.10 Функции в ТТ-формате
1.11 Многомерный крестовый метод
1.12 Скелетное разложение матриц и тензоров
1.13 Выводы
Глава 2. ОТТ-разложение и его свойства
2.1 Введение
2.2 С)ТТ-разложение некоторых функций
2.3 С)ТТ-представление характеристической функции симплекса
2.4 С)ТТ-разложение некоторых операторов
2.5 Связь С)ТТ-представления и вейвлет-разложения
2.6 ТТ-разложение как вычисление подпространств
2.7 Использование 1Л/ТТ для создания новых вейвлет-преобразований
2.8 Выводы

Глава 3. Приложения ТТ и QTT разложений
3.1 Введение
3.2 Решение молекулярного уравнения Шредингера
3.3 Формулировка задачи
3.4 Представление матрицы
3.5 Решение задачи на собственные значения с помощью метода DMRG
3.6 Численные примеры
3.7 Сравнение с известными подходами
3.8 Вычисление многих собственных значений
3.9 Стохастические и многопараметрические уравнения
3.10 Решение линейной системы в ТТ-формате
3.11 Численные эксперименты
3.12 Сжатие данных на примере поля температуры
Заключение
Литература

Посвящается моему дедушке, Беоюаеву Ивану Осиповичу
(1918-2010)

с одним вспомогательным индексом. Таким образом, пункт (Ь) доказан. Так как каждый вспомогательный индекс возникает ровно в двух тензорах, после каждого шага редукции он снова содержится лишь в двух тензорах. Это доказывает пункт (с).
Теперь докажем пункт (6). Предположим обратное, что существует непустое собственное подмножество не содержит ни одного общего индекса, лежащего в листьях вне этого подмножество. Рассмотрим всех предков к листьям из рассматриваемого подмножество, и возьмем тот, который не имеет предка. Этот узел обязан быть корнем дерева, поэтому число всех пространственных индексов в тензоре, заданным в виде дерева, должно равняться числу листьев подмножества. Но число пространственных индексов равно общему числу листьев в дереве, поэтому подмножество не является собственным, и мы получили противоречие. □
Пример, как можно модифицировать таккеровское дерево из Рис.1.5, чтобы оно удовлетворяло ограничениям 1 и 2, показан на Рис.1.6. Несложно проверить, что в соответствии с леммой 1.3, листья удовлетворяют (а), (Ь), (с) и (6).
Посмотрим теперь на разложение, которому соответствует дерево на Рис.1.6. Обозначим листья через Сц 62, 63, 64, 65. Согласно лемме 1.3 есть два тензора с одним вспомогательным индексом, и согласно свойству (б) это должны быть разные индексы. На Рис. 1.6, это листья с индексами ц, 0С| и 12
Выберем лист с индексами ц, «1 и обозначим его как , С] (П, СХ]). Согласно свойству (с), должен быть еще ровно один лист, который содержит а] , обозначим его 63, с элементами 62(1X1, гз, аз). Дальше действуем таким же образом: по свойству (с), еще всего один лист содержит индекс аз, обозначим его Сз, а его элементы индексируются как Сз(аз, 15,1x4). Тензор, КОТОРЫЙ СОДерЖИТ ИНДеКС 04 , Обозначим Через 64(04,14,02)
Наконец, индекс 02 находится еще в одном листе, причем в этом листе всего один вспомогательный индекс: 65(02,12).