Осреднение процессов в периодических средах с периодами разных порядков в различных направлениях

• Автор: Якубенко, Татьяна Андреевна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 150 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. ЭФФЕКТИВНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОРИСТЫХ СРЕД С ПЕРИОДАМИ РАЗНЫХ ПОРЯДКОВ В РАЗЛИЧНЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ
1.1. Эффективные коэффициенты двумерной пористой среды
1.1.1. Постановка задачи и описание структуры.
1.1.2. Приближение к решению первой задачи на ячейке
1.1.3. Приближение к решению второй задачи на ячейке
1.1.4. Явные формулы для эффективных коэффициентов и оценка погрешности
1.2. Теорема о близости решений
1.3. Эффективные коэффициенты трехмерной структуры
1.3.1. Постановка задачи и описание структуры.
1.3.2. Приближение к решению первой задачи на ячейке
1.3.3. Приближение к решению второй задачи на ячейке
1.3.4. Приближение к решению третьей задачи на ячейке
1.3.5. Вывод формул для эффективных коэффициентов и оценка погрешности
1.4. Численное исследование
1.4.1. Описание численного метода решения задач на ячейке
1.4.2. Расчет эффективных коэффициентов теплопроводности пористой среды
1.4.3. Расчет эффективных коэффициентов для процессов, описываемых системой уравнений

ГЛАВА 2. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СГЛАЖИВАНИЯ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ЗАДАЧ С НЕГЛАДКИМИ ДАННЫМИ
2.1. Эффективные коэффициенты двумерной среды с негладкими данными. Изотропный случай
2.1.1. Постановка задачи
2.1.2. Решение первой задачи на ячейке
2.1.3. Решение второй задачи на ячейке
2.1.4. Вычисление приближенных эффектив-
ных коэффициентов в явном виде и оценка погрешности полученных формул.
2.2. Эффективные коэффициенты двумерной среды с негладкими данными. Анизотропный векторный случай
2.2.1. Решение первой задачи на ячейке
2.2.2. Решение второй задачи на ячейке
2.2.3. Вычисление приближенных эффектив-
ных коэффициентов в явном виде и оценка погрешности полученных формул.
2.3. Теорема о близости решений
2.4. Оценка погрешности численного решения краевой задачи с пограничным слоем
2.4.1. Постановка задачи
2.4.2. Оценки ||и - й\к и \щ - йн\к
2.4.3. Оценка ||й — й\и
2.4.4. Оценка | и — ш Г
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ВВЕДЕНИЕ
В современной технике и науке широко применяются материалы, состоящие из многократно чередующихся объемов веществ с различными свойствами. Такие среды можно назвать микронеоднородными, имея в виду, что характерный размер неоднородностей много меньше линейного размера тела, но при этом гораздо больше размеров молекул. Примером микронеод-нородных сред могут служить композиционные и пористые материалы. Композиты проявляют существенно новые свойства по сравнению со свойствами компонент.
Наличие периодической структуры существенно облегчает математическое исследование процессов в таких средах.
Как правило, физические процессы,, протекающие в ми-кронеоднородных средах, могут быть описаны дифференциальными уравнениями в частных производных [24,37]. В связи с тем, что коэффициенты этих уравнений являются быстро осциллирующими, непосредственное численное решение задач практически невозможно или существенно затруднено, так как требуется слишком малый размер сетки и непомерно большой объем вычислений. Это обстоятельство приводит к необходимости использования осредненного описания, при котором неоднородная среда замяняется некоторой эффективной однородной средой. Для вывода уравнений эффективной среды могут использоваться разные подходы. Иногда они постулируются на основе экспериментальных данных и физических гипотез о поведении среды (см. [13, 14, 16, 34]).
Наличие малого параметра г, представляющего собой отношение характерного размера неоднородности к линейному масштабу задачи /, позволяет применить для исследования асимптотические методы [27]. Этому посвящена созданная и широко развитая за последние десятилетия теория осреднения уравнений в частных производных с быстро осциллирующими коэффициентами (см., например, книги [3, 12, 31, 49, 51, 52, 53]). Согласно

и задают соответственно верхнюю и нижнюю границы уже одной и той же поры. Тогда вводятся следующие подобласти единичной ячейки К = [0,1] х [0,1]
К = {(У,У2) : 0 < Уі < аи 0 < у2 < 1},
к2 = {(УъУъ) ' аі < Уі < а2> 0 < Ш < 9-ІУі)}і к2 = {(УъУг) аі <У < ач, 9+ІУі) <У2< 1}, К3 = {(2/ь 2/2) : о2 < 2/і < 1 , 0 < У2 < 1},
к0 = ик1 ищик+ик3.
В соответствующих выкладках вместо интеграла по области К2 надо рассмотреть сумму интегралов по областям и К£, а функцию <7(2/1) определить как д = 1 — д+ + <7_. При доказательстве (1-24) можно воспользоваться периодичностью входящих под знак интеграла функций. Тогда
Преобразование
' У'
позволяет перейти к интегрированию по прямоугольнику со стороной, равной 1, по 2/2 в соответствующих выкладках. Остальные вычисления проводятся аналогично описанному случаю.
Теорема 1.1 остается верна, если пора смыкается в отдельных точках.