Тригонометрические суммы Г. Вейля над кольцом целых алгебраических чисел

• Автор: Кокорев, Антон Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Орел
• Количество страниц: 90 с. : ил.

Оглавление
Обозначения
Введение
Глава 1. Интеграл Виноградова над квадратичным полем вещественных алгебраических чисел
1.1 Свойства среднего значения кратной тригонометрической суммы
1.2 Лемма Линника над квадратичным полем
1.3 Основное рекуррентное неравенство
1.4 Доказательство теоремы о среднем значении тригонометриче-
ской суммы над квадратичным полем вещественных алгебраических чисел
Глава 2. Суммы Г.Вейля на основном множестве
2.1 Теорема о кратности пересечения областей
2.2 Равномерная оценка тригонометрической суммы
Глава 3. Общая оценка сумм Г.Вейля над квадратичным полем вещественных алгебраических чисел
3.1 Вспомогательные утверждения
3.2 Оценка суммы Г.Вейля на I классе
3.3 Оценка суммы Г.Вейля на II классе

Глава 4. Асимптотическая формула для аналога интеграла И.М.Виноградова в квадратичном поле.
4.1 Вывод асимптотической формулы
4.2 Сходисть особого ряда и особого интеграла
Список литературы

Обозначение
08—число, модуль которого не превосходит единицы,
Р - целое число, превосходящее единицу,
Выражение А В показывает, что, при В > О, |А| ^ сВ, обозначение А = ©В имеет тот же смысл,
() —число сочетаний из т по к,
(р) ~Символ Лежандра,
т(п) —число делителей числа п,
и(п)—число различных простых делителей числа п,
Эр(7)-след числа 7,
11е(А)—обозначет удвоенную «рациональную» часть числа А = а + л/2Ъ из квадратичного поля, т.е. Яе(А) — 2а,
} I /(37) —произведение по всем аргументам из данного множества,
І^г^п
Z[^/2]— кольцо целых алгебраических чисел вида а + л/2Ь, полученное присоединением л/2 к кольцу целых чисел,
N р— норма числа р,
^ — означает суммирование по указанным значением а,

А - сопряженное к А.

где Р = и под р понимаем то из р/, при котором соответствующая величина 11 максимальна.
Оценим теперь ЧИСЛО решений /2 системы (1.1) при условии, что переменные принадлежат второму классу В. Сначала оценим сверху количество наборов А = (Ах,, А*,) € В. Пусть р; одно из чисел рх,... ,рп. Для каждого набора А Е В рассмотрим набор А , состоящий из остатков от деления нарг координат А = (Ах,..., Ад.). Имеем 1 — (А^,..., А^):
= А® (тос! р(), = с'- + ^л/2,1 < с*-; ^ < рь с^ 6 Н, ^ = 1,..., к.
Обозначим символом Б; множество, таким образом, полученных наборов А*. По теореме (1.1.8), всего существует = р] вычетов по модулю р*. Но X1 € В, значит существует не более (п — 1) попарно несравнимых А^-. Следовательно, имеем не более (п — 1) различных вычетов А^- по модулю р/.
Значит, число элементов Д не превосходит (пр_1)(^ — 1)/г так как, по построению
Д = {Ах, ■ • •, Ад; где каждое А^- принимает р2 значений,
причем среди А*- не более (п — 1) различных.}
Тем самым, для каждого А = (Ах,..., Ад) € В получаем систему сравнений Ах = А^ (тоб рх) ••• Ах = А^ (тобр„),
Ад = А^ (тоб рх) • ■ • Ад = А^п) (тоб рп).
Согласно китайской теореме об остатках, данная система сравнений эквивалентна следующей
Ах = Дх (тоб рх.. •Рп),

Ад = Дд (тоб рх.. .рп).
где Aj = Aj + Ajx/2 и можно считать, что 1 ^ Ду, Aj ^ рх... рп.