Числовые функции на обобщенных арифметических прогрессиях

• Автор: Бегунц, Александр Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 71 с.

Глава 1. Простые числа в антье-последовательности специального вида
§ 1. Вспомогательные утверждения. Приближение иррациональных чисел рациональными
§ 2. Основная теорема для иррациональных чисел а
§ 3. Следствия из основной теоремы и частные случаи
§ 4. Случай рационального а
§5. Равномерные оценки
Глава 2. Об одном аналоге проблемы делителей Дирихле
§ 1. Вспомогательные утверждения
§ 2. Лемма о сумме значений функции на обобщенной арифметической прогрессии
§ 3. Лемма об оценке тригонометрической суммы
§4. Доказательство теоремы
§5. Результаты вычислений
Глава 3. О распределении значений сумм мультипликативных функций
§ 1. Задача о функции Мангольдта
§2. Задача о функции Эйлера
§ 3. Случай растущих коэффициентов
Список литературы
Предисловие
Обобщенными арифметическими прогрессиями называются последовательности вида [ап + ß], где а — вещественное нецелое число, ß — произвольное вещественное число, а переменная п пробегает натуральный ряд чисел (функция [ж] обозначает целую часть числа х). Простые числа образуют мультипликативный базис множества натуральных чисел, поэтому в рассматриваемом круге задач важнейшей проблемой является изучение законов распределения простых чисел в такого рода последовательностях.
Исследование распределения простых чисел в различных целочисленных (или арифметических) последовательностях является актуальным направлением аналитической теории чисел. Простейшим примером такой последовательности является сам натуральный ряд чисел. Еще Евклид доказал бесконечность множества всех простых чисел, но точные количественные результаты, связанные с функцией 7г(ж), были получены лишь в XIX в. Отметим, что предположение JI. Эйлера тт(х) = о(х) было доказано А. Лежандром, который, в свою очередь, в 1798 г. выдвинул гипотезу1 о том, что

Впервые точные результаты в этом направлении были получены П. Л. Чебышевым [1], [2] на рубеже 1840-х—1850-х гг. В частности, для всех достаточно больших значений х была доказана оценка

где а,Ь — положительные постоянные, 0 < а < 1 < Ь. Кроме того, П. Л. Чебышев исследовал приближение функции 7г(ж) интегральным логарифмом. Он ввел понятие «количества порядка j^rj» для обозначения такой величины А, что при m > п имеем lima;_>0OA : = оо, а при
В действительности, предположение Лежандра было несколько иным, см,, например, [28, с. 9].

т < п имеем Иш^-хзоЛ : щк- = 0, и доказал [3, т. 1, с. 184], что «если функция 7г(а:)... может быть выражена верно до количества порядка ]о^х включительно алгебраически в х, ех, то такое выражение ее есть

Нестрого говоря, было показано, что лучше, чем интегральным логариф-MOM §2 функция 7г(ж) приближена быть не может.
Доказательство асимптотического закона распределения простых чисел (1) было получено еще через полвека. Б. Риман развил метод, использовавший теорию функций комплексной переменной. Несмотря на то, что носящая его имя функция £(s) была впервые введена Эйлером (см. [4, с. 129]), именно Риман рассмотрел ее как функцию комплексного аргумента. В своей работе 1859 г. [5] Риман привел набросок доказательства асимптотического закона. Полное доказательство предложили в 1896 г. Ж.Адамар [6] и (независимо от него) Ш. Валле-Пуссен [7]. Оба автора использовали созданную Адамаром [8] теорию целых функций.
Вопрос о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях был впервые исследован JT. Дирихле, который в 1837 г. установил, что в любой арифметической прогрессии 1,1--к, 1+2к где натуральные числа к, I взаимно просты, содержится бесконечно много простых чисел. После того, как был доказан асимптотический закон распределения простых чисел, Адамар при помощи рассмотренных Дирихле L-функций доказал теорему о простых числах в арифметической прогрессии:

При фиксированном к количество членов рассматриваемой арифметической прогрессии, не превосходящих заданной границы х, имеет порядок х. Возникает вопрос о распределении простых чисел в более редких последовательностях. Например, если положить к — In ж, то количество членов арифметической прогрессии, не превосходящих заданной границы х, будет уже иметь порядок х/1пх. В 1935 г. К. Зигель доказал теорему о
Глава 2. Об одном аналоге проблемы делителей Дирихле

Соотношение (2.25) выводится совершенно аналогично. Достаточно переопределить Бьу-

Доказательство оценок (2.26) и (2.27), а также рассмотрение случаев алгебраического числа Л и почти всех чисел Л повторяет изложенные выше рассуждения, причем в этом случае вместо результата (2.10) следует применить соотношение (2.9) и не следить за возникающими константами, а вместо неравенства (2.33) воспользоваться, соответственно, оценками

вытекающими из леммы (2.6), а также леммой (2.11). Лемма доказана. □
Лемма 2.13. Пусть заданы числа А и V, такие, что А > 1 и 0 ^ и <1, и периодическая функция ш(ж) с периодом единица определена на