Базисные подмодули и структура чисто-инъективных модулей над полуцепными нетеровыми справа кольцами

• Автор: Зильберборд, Игорь Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 108 с. : ил

Оглавление

§0. Введение

Глава 1. Модули над полуцепными

НЕТЕРОВЫМИ СПРАВА КОЛЬЦАМИ

§ 1. Структура полуцепных нетеровых справа колец

§ 2. Неразложимые конечно порожденные модули

и гомоморфизмы между ними

§ 3. Инъективные модули и инъективная оболочка

§ 4. Чистоты и чисто-инъективные модули

§ 5. Вложения модулей третьего типа

§ 6. Индуктивные чистоты в категории Д-модулей

Глава 2. Базисные подмодули модулей над полуцепными
нетеровыми справа кольцами
§ 7. Допустимые инъективные модули
§ 8. Теорема существования для базисных подмодулей
§ 9. Базисные подмодули чисто-инъективных модулей
§ 10. Теорема единственности для базисных подмодулей и следствия из неё 65 §11. Соответствие между парами идеалов и неразложимыми чистоинъективными модулями
Глава 3. Пополнение модулей над полуцепными
нетеровыми справа кольцами
§ 12. Определение и свойства ІЇ-топологии
§ 13. Пополнение модулей и чисто-инъективная оболочка

§ 14. Неразложимые чисто-инъективные модули над наследственными
кольцами
Список ЛИТЕРАТУРЫ

§0. Введение
Чистоты в категории модулей играют значительную роль при исследовании модулей с точки зрения гомологической алгебры. Одним из важнейших примеров таких чистот является чистота по Кону. Эта чистота служит естественным обобщением на категорию модулей понятия сервантности для абелевых групп, введённого Прюфером в 1923 году. Используя функтор тензорного произведения, Кон [34] в 1959 году определил класс коротких точных последовательностей, называемый сегодня чистотой по Кону.
Особый интерес этот класс вызывает благодаря тому, что чистота по Кону может быть использована при изучении алгебраически компактных (чисто-инъективных) модулей. Уорфилд [62] в 1969 году показал, что модуль алгебраически компактен тогда и только тогда, когда он инъективен относительно любой чистой по Кону короткой точной последовательности модулей. Кроме того, в его работе было доказано, что алгебраически компактные модули могут быть описаны как прямые слагаемые топологически компактных модулей. Уорфилд также рассматривал чистоты, проективно порождённые некоторым классом модулей. Он предложил три равносильных определения чистоты по Кону, в том числе — как чистоты, проективно порождённой классом всех конечно представимых модулей.
Алгебраически компактные абелевы группы были открыты и в основном классифицированы Капланским в 1954 году в работе [43]. Он охарактеризовал редуцированные, то есть не содержащие ненулевых инъективных (делимых) подгрупп, алгебраически компактные абелевы группы как группы, полные в Ъ-адической топологии. В работе Капланского было также доказано, что любая ненулевая редуцированная алгебраически компактная абелева группа имеет прямое слагаемое, изоморфное группе Ъг целых р-адических чисел или группе Ъ)ркЪ (1; £ К) для некоторого простого числа р. Из этой теоремы следует отсутствие суперразложимых алгебраически компактных абелевых групп. Другим следствием этого результата является классификация всех неразложимых алгебраически компактных абелевых групп.

Доказательство. Предположим, что выполнены условия (1) и (2). Пусть М' — такой подмодуль модуля М, что С С М а М'/С — цепной циклический модуль. Тогда М' является суммой двух цепных циклических модулей (см. предложение 4.3, доказательство импликации (3) => (2)), поэтому М' — фактор-модуль прямой суммы двух неразложимых проективных модулей. Используя теорему Дрозда - Уорфилда и теорему 2.7, получаем, что М' = Аг © А2, где А, А2 — цепные циклические модули. Пусть — ограничение на С канононической проекции М' —> А1г 7г2 — ограничение на С канононической проекции М' —¥ А2. Учитьшая замечание 2.5.1, предположим, что гомоморфизмы 7Г1, 7г2 не являются изоморфизмами. Ввиду (1) можем считать модули А, А2 ненулевыми, и в этом случае согласно [3, лемма 1] один из гомоморфизмов щ, л2 — мономорфизм, а другой — эпиморфизм. Следовательно, в силу (2) С выделяется прямым слагаемым в М', и по предложению 4.3 С чист по Кону в М.
Так как любой цепной модуль неразложим, то необходимость утверждений (1) и (2) также следует из предложения 4.3. •
Замечание 4.3.3. Удовлетворяющие условию (2) следствия 4.3.2 модули С, Аг, А2 и Аз = {Ах ® А2)/С образуют биуниверсальный квадрат
Отметим, что этот биуниверсальный квадрат состоит из ненулевых цепных циклических Д-модулей. Все такие квадраты описаны в работе [3], в которой с их помощью дана классификация всех чистот в категории конечно порождённых Д-модулей.
Определения. Пусть 5 — кольцо, В,¥ — правые 5-модули.
1) В называется чисто-проективным модулем, если В проективен относительно всех чистых по Кону коротких точных последовательностей 5-модулей.
2) IV называется чисто-инъективным модулем, если Ш инъективен относительно всех чистых по Кону коротких точных последовательностей 5-модулей.
А2 -----------> Аз