Факторизация отображений и автоморфизмы поверхностей

• Автор: Полякова, Юлия Модестовна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 93 с.

1 ВВЕДЕНИЕ
2 Факторизация бирациональных отображений рациональных поверхностей над полем вещественных чисел
2.1 Относительно минимальные рациональные поверхности
над Ж
2.2 Разложение бирациональных отображений между минимальными рациональными К-поверхностями на элементарные линки
2.3 Соотношения между элементарными пинками
3 Категории лог-терминальных пар и автоморфизмы поверхностей
3.1 Категории частных. Жесткость. Ж>о-Упорядоченные категории
3.2 Й>о-Упорядоченные категории
2)-лог-терминальных пар
3.3 Подкатегории Др# в категориях С2Р# и их свойства. Неособые подкатегории
3.4 1-Морфизмы в категориях и и особенности объектов этих категорий
3.5 Функторы разрешения особенностей и минимизации. Теорема о замкнутости
3.6 Определение кривых С), их классификация и инвариантность относительно функтора разрешения особенностей
3.7 Категории Щ* и щ1^. Разложение морфизмов на элементарные
1 ВВЕДЕНИЕ.
Одной из основных в бирацональной геометрии являеся проблема факторизация бирацональных отображений алгебраических многообразий, то есть разложение этих отображений на элементарные. Еще в конце 19 века М.Нетером была доказана теорема о разложении бирациональных автоморфизмов проективной плоскости на квадратичные преобразования. С тех пор в этой науке произошел существенный прогресс. В настоящее
время наиболее перспективным в решении задачи факторизации бирацо-нальых отображний принято считать подход, основанный на их разложении на элементарные отображения, называемые линками. При этом под линками подразумеваются бирациональные отображения 7, такие что 7 и 7-1 стягивают не более одного неприводимого дивизора.
При решении задачи факторизации, естественным образом возникает задача поиска полной системы соотношений между линками, поскольку имея решения этих задач мы получаем полное описание классов бира-циональной эквивалентности и отображений между элементами каждого класса.
Для расслоений Мори размерности два и три с терминальными 0-факториальными особенностями, а также двумерных лог-терминальных пар, являющихся расслоениями Мори в [16] и [29] доказана теорема о существовании разложения бирациональных отображений на элементарные линки над полем комплексных чисел. Построение алгоритма указанного разложения сводится к исследованию структуры рассматриваемых многообразий. Случай раслоений Мори размерности два полностью изучен, то есть, в этом случае построен алгоритм разложения и найдена полная система соотношений между линками.
Задача факторизацизации отображений рациональных поверхностей решалась также и над незамкнутыми полями. Так в [7], [10] и [12] над совершенным полем к была решена задача об описании группы бирациональных автоморфизмов неособых, рациональных расслоений Мори размерности два, а в [13] был построен алгоритм разложения бирациональных отображений между такими поверхностями на элементарные линки и найдена полная система соотношений. Отметим, что решение задачи о разложении на линки и поиске полной системы соотношений ранее не было получено ни для одного из конкретных полей. Для ПОЛЯ К это сделано во второй части диссертации.
Основным методом решения задачи факторизации для расслоений Мори является метод максимальных особенностей, опирающийся на неравенство Нетера-Фано.
Одним из применений проблемы факторизации бирациональных отображений может служить задача описания группы бирегулярных автоморфизмов неособой (или с допустимыми особенностями) комплексной квазипроективной поверхности посредством групп бирегулярных автоморфизмов ее компактификаций. Отметим, что в данном случае приходится иметь дело с поверхностями, не являющимися расслоениями Мори
и имеющими большой ранг группы Пикара, в следствии чего, применение метода максимальных особенностей мало осмысленно и нужно придумывать другие способы решения задачи. Решению задачи факторизации для данного случая посвящена третья часть диссертации.
Текст диссертации написан на основании следующих двух работ автора: ’’Факторизация бирациональных отображений рациональных поверхностей над полем вещественных чисел” и ’’Категории лог-терминальных пар и автоморфизы поверхностей”. Первая из работ опубликована в журнале ’’Фундаментальная и прикладная математика” [1], а вторая депонирована в ВИНИТИ. По результатам второй из работ опубликованы две заметки в журнале ’’Успехи математических наук”: ’’Категории Ра и Ба двумерных й-лог-терминал ьных пар” [2] и ’’Дальнейшие свойства категорий Ра и Ба” [3]. В соответствии с написанным выше, текст диссертации разбит на введение (первая часть) и еще две части, посвященные изложению результатов упомянутых выше основных работ, ^ а каждая из частей разбита на главы.
9 Приступим теперь к краткому изложению содержания диссертации.
Начнем со второй части. Напомним некоторые используемые понятия и определения.
Многообразие X над полем к называется рациональным, если многообразие X ®к бирационально эквивалентно проективному пространству Р£ над к, где к - произвольное поле, к - его алгебраическое замыкание, а п = <ИтХ. Всюду далее ^-многообразием мы будем называть алгебраическое многообразие над к, а ^-отображением будет называться отображение между ^-многообразиями, определенное над к.
Неособая проективная рациональньная ^-поверхность Р, рассматриваемыми вместе с к - морфизмом 7г : Р —> Б на неособое проективное к -многообразие 5, (ИгпБ < 2 называется относительно минимальной (или двумерным расслоением Мори), если антиканонический дивизор {—кР) -х-обилен и р(^/5) = 1.
Согласно полученной в [9] классификации неособых, проективных, рациональных, относительно минимальных поверхностей над произвольным совершенным полем к, любая поверхность Д рассматриваемого класса с морфизмом п : й*1 —>• 5, в зависимости от размерности 5, является либо поверхностью дель Пеццо (то есть (—кр) - обилен) с гкРгсР = 1, либо расслоеним на коники над неособой проективной кривой 5 рода нуль; для каждого из этих двух типов имеется подробная классификация (см. 2.1.2).

Стягиванием подконуса Я £ ЕЕ(у, ж,7г*) называется морфизм согЛд Е Мог М, соШд: У -> 2 такой, что условие со^д(В) = '[Л для кривой В равносильно условию [В] £ Я, где [В] — класс В по модулю численной эквивалентности, а рЬ — точка. Очевидно, что морфизм сопЬя индуцирует естественно определимый морфизм СОГЙд: (У, 7Г1,., тгк) —> (Я,р1,;рк), со^я € МогВк{М).
4) Пусть <р £ Мог М, 1р: У —> У'. Поскольку У и У' О-факториальны, определено отображение полного прообраза:
р*' £<1-1(У') ® *0 ® ОЕсли <р 6 Мог Мк, то через <р~1а и <р, будут обозначаться стандартные отображения собственного прообраза и прямого образа
У’габ1 ^<г-1 (О ® О А-1(У) ® Q,
V**: А-1(У) ® О —)• Z(^-l{V') ® <13.
3.2.2. Замечания. 1) Очевидно, если У £ ОЬМ2, то определены естественные скалярные произведения ( , ) на 21(У) ® О и А (У).
2) Пусть <р € МогМ2, У —> У', тогда исключительная подсхема морфизма <р, Ех(<р), является объединением конечного числа неприводимых (^-исключительных кривых и отображение <р* удолетворяет следующему соотношению:
{ч>'В',<р'В') = ('рЧУ.у&ф)) = [#£№), Ч?В?) = (В’, В1),
где В’, В’ € А (У') ® О. Для любой 99-искгачительной кривой Е — ((р*ВЕ) = 0, и если р(У, Iр) — 1, то:
р'В’^р^(В) + (р^(В),Е)Е.
3) Пусть <р £ Мог Мк, <р: V —>• У', тогда = Ч>*(Ку)
3.2.3. Утверждения. 1) Пусть У £ ОЬМ2, тогда на У не может существовать двух численно неэквивалентных нулю ^-дивизоров А и А со свойствами: (А)2 > О, (А)2 > О, (А, А) = 0.
2) Пусть 1р £ МогМ2, ф:У —¥ У', А, г £ {1 п}, — все неприводимые ^»-исключительные кривые. Тогда квадратичная форма, определяемая матрицей пересечения ((А,А)ю)> отрицательно определена на подпространстве пространства А(У) ® 01 порожденном векторами А-