Структурная теория специальных алгебр Ли

• Автор: Пихтильков, Сергей Алексеевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Тула
• Количество страниц: 202 с.

Список обозначений
0 Исторический очерк. Основные определения и обозначения
1 Предварительные сведения о специальных алгебрах Ли
1.1 О свойствах присоединенной ассоциативной алгебры
1.2 Операции над специальными многообразиями
1.3 Связь между свойствами алгебры Ли и ее РТ-оболочки
1.4 Косые полугрупповые алгебры
2 Первичный радикал алгебр Ли
2.1 Первичные специальные алгебры Ли
2.2 О сумме локально разрешимых идеалов алгебр Ли
2.3 Верхний и нижний слабо разрешимые радикалы алгебр Ли
2.4 Первичный радикал специальных алгебр Ли
3 Локально нильпотентный радикал специальных алгебр Ли
3.1 Наибольший локально нильпотентный идеал специальных алгебр Ли
3.2 Локально нильпотентный радикал
4 Приложения теории первичного радикала
4.1 Артиновые и нетеровы специальные алгебры Ли
4.2 Об использовании первичного радикала в теории многообразий алгебр Ли
4.3 Алгебры Ли с условием максимальности на абелевы подалгебры
4.4 О радикале для групп
4.5 Первичный радикал специальных супералгебр Ли
5 Центроид Мартиндейла и инъективные оболочки модулей
5.1 Центроид Мартиндейла полупервичных алгебр Ли
5.2 Существование инъективной оболочки
5.3 Об эпиморфизме инъективных оболочек
Литература 188 Предметный указатель
Список обозначений
А<- - ассоциативная алгебра А по отношению к операции коммутирования [іX, у] = ху
[А] ассоциативная супералгебра А по отношению к операции коммутирования, определенной на однородных компонентах по формуле [;х,у] = ху — (—1 )а^А°‘(у)уХ^ где а(х) - номер однородной компоненты II(X) - универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли X им(Ь) - универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли X в многообразии
С^-алгебра Ли - обобщенно специальная алгебра Ли .‘УР/-алгебра Ли - специальная алгебра Ли МРІ-алгебра Ли - матричная алгебра Ли Вп - алгебра матриц порядка п над алгеброй X)
МП(Р) - идеал лиевых или ассоциативных тождеств, в зависимости от контекста, алгебры матриц над полем Р
АбХ - присоединенная ассоциативная алгебра для алгебры Ли X
[а, Ь] - коммутатор элементов в ассоциативной алгебре или алгебре Ли
[а, Ьд - коммутатор элементов в группе
В (О) - алгебра умножений ассоциативной алгебры Х>
Z(D) - центр алгебры X)
Ец(Х) централизатор подмножества X в ассоциативной алгебре или алгебре Ли X)
С (В) - центроид Мартиндейла алгебры X)
Со - центроид алгебры Х>
5(1)) - центральное замыкание полупервичной алгебры Б
гапк(0, V) - ранг векторного подпространства V относительно алгебры

Многообразие, заданное идеалом [/ + 7,/ +7] является специальным как подмногообразие многообразия [ЭЯ, Э1]. Оно является расширением абелевого многообразия при помощи многообразия 21. Из теоремы 1.2.1 следует, что многообразие 21 - абелево. Следовательно, тождество коммутативности [ж, у] содержится в идеале I+ J. Тогда оно лежит в одном из Т-идеалов I и 3.
Таким образом, одно из многообразий ЭЯ и Э1 специально, а другое *** абелево.
Пусть ЭЯ порождено специальной алгеброй Ли. Обозначим через Д свободную алгебру Ли Ьр(Х) с бесконечным множеством образующих. Тогда идеал ,/, соответствующий Э1 имеет вид: .1 = Г{ или «7 = [Д, Д]. Алгебра Д/[/, Д] является свободной алгеброй многообразия и центральным расширением алгебры Д/7. Следовательно, алгебра Д/[7, Д] - специальна, согласно теореме 1.1.2.
Покажем, что алгебра
5 = Ас1(Д/[/, [Д,Д]])
является Р7-алгеброй.
Пусть алгебра Ас1(Д/7) удовлетворяет полилинейному тождеству
/(жь...,жг) = 0.
Покажем, что алгебра 5 удовлетворяет тождеству
/(Ж1, ..., хг)[хг+1, Хг+ъ] = 0.
Пусть «1 йг+2 - произведения элементов вида ас1у, где
у, же Д/[7,[Д,Д]].