Функциональные тождества в кольцах и их приложения

• Автор: Чеботарь, Михаил Александрович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 215 с.

Введение,.;. . '

• ч- • «4 4 Г% >'

1 Общая теория функциональных тождеств

^ 1.1 Обобщенные функциональные тождества

1.1.1 Определения и обозначения

1.1.2 Доказательство теоремы 1.1

1.1.3 Замечание об образе решений

1.1.4 Тождества специального вида

1.2 Функциональные тождества: общая теория

1.2.1 Алгебраичность подмножеств первичных колец

1.2.2 (7-свободные множества: определения и первые результаты

1.2.3 Какие множества (/-свободны?
1.2.4 Квазиполиномы
1.2.5 Тождества вовлекающие инволюцию
2 Лиевы отображения
2.1 Лиевы гомоморфизмы лиевых идеалов
2.2 Лиевы дифференцирования лиевых идеалов
2.3 Лиевы гомоморфизмы лиевых идеалов кососимметрических
элементов
2.4 Лиевы дифференцирования лиевых идеалов кососимметрических элементов
3 Отображения, сохраняющие алгебраические свойства элементов
3.1 Функциональные тождества на левых идеалах
3.2 Отображения в кольцах с инволюцией

Приложение функциональных тождеств к некоторым задачам из теории алгебр Ли
4.1 Ли-совместимые отображения
4.2 Отображения, удовлетворяющие тождеству (/(и,д),1о] = /([м,ш]> ") + /(«> [”,»"])
Первые результаты по функциональным тождествам связаны с описанием коммутирующих отображений, то есть отображений / кольца 77. таких, что [/(ж),ж] = /(ж)ж — х/(х) = 0 для всех х &7Z.•
В 1957 году была опубликована работа Познера [119], в которой было показано, что ненулевое дифференцирование первичного кольца 7?. является коммутирующим отображением тогда и только тогда, когда кольцо 77. — коммутативно:
Аналогичный результат для коммутирующих автоморфизмов был получен Мэйном [99].
Результаты Познера и Мэйна многократно обобщались разными авторами [7, 17, 21, 22, 30, 49, 50, 53, 54, 62, 63, 70, 71, 77, 78, 79, 82, 87, 97, 98, 100, 107, 125, 127]. Из этих работ следует выделить статью Брешара [30], который описал все коммутирующие отображения первичных колец. Этот результат стал первой работой по функциональным тождествам. Как и в случае с теоремами Познера и Мэйна, к этому результату был проявлен значительный интерес и в течение нескольких лет появилось большое количество работ на эту тему [6,12, 16, 19, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 43, 44, 45, 48, 83, 84, 86].
Существенное влияние на развитие этого направления теории колец оказали статьи Брешара [35, 36]. Основной результат работы [35] — это описание аддитивных отображений /1, /г, /з, /4 первичного кольца 71 удовлетворяющего тождеству
МХ)У + Му)х + г/з (у) + У /»(ж) = 0 для всех х, у 6
Такие тождества называются функциональными тождествами степени 2, поскольку в них участвуют 2 переменные х и у.
В работе [36] рассматривалось более сложное тождество
п тп к I
0{{х)уЬ; + '}Г,ЧуЩх) + ^2с1{хК(у)
;=1 1=1 1=1 ;
для всех х, у 6 77., где С;, //;, А; : 77. —> 77. аддитивные отображения первичного кольца 77. и {аь... ,а„}, {6Ь ..., Ьт], {сь .. .,с*}, {с^,.. .,<11}
Случай 2. Инволюция * — симплектическая. В этом случае т — четное число. Пусть к — т/2. Отождествим Мт(С) с М^(С) ®сМ2(С). Пусть А >-+ А1Т, А 6 Мк(С), инволюция, являющаяся транспонированием, и пусть с : М2(С) —+ М2(С),
( с а ) ^ ( -с а)’ а’Ь>с>^бС’
симплектическая инволюция на М2(С). Без ограничения общности можно считать, что (А ® В)* = А‘т ® В" для всех А 6 М*(С) и В е М2(С). Поскольку Мт{С) — Мк(С) ® М2(С) = М2{Мк(С)), мы получаем, что
( А в V-1 ' В‘Т -В‘г
и в -( _С‘г А‘г )
для всех А, В, С,И € Мк(С). Значит, К(А) содержит все матрицы вида А‘г ) , А £ Мк{С). Пусть С[х] — кольцо многочленов от переменной х и /(х) = хк + х + 1 £ С[х]. Так как сйтс(.4С) > 16, т > 4 и, значит, к > 2. Пусть ТА — идеал кольца С[х], порожденный /(х), и пусть УУ = С[х/ТА — фактор-алгебра. Рассмотрим УУ как векторное пространство над С и пусть ф — линейное преобразование пространства УУ заданное левым умножением на х. Пусть А — матрица преобразования ф. Известно, что /(х) — минимальный многочлен для А. Ясно, что /(х) также минимальный многочлен для А‘г. Таким образом, /(—х) — минимальный многочлен для —Л‘г. Так как к > 2, то по теореме Гамильтона-Кэли след А равен нулю и поэтому А, А‘Т £ [Мк(С),Мк(С)].
|'£‘ Значит, В = ^ ^ ^ лежит в [!С(А),1С(А). Поскольку идеал С[х],
порожденный /(х) и /(—х), равен С[х], мы получаем, что /(х) и /(—х) взаимно просты и значит минимальный многочлен матрицы В равен /(х)/(—х), то есть с1е§(_£?) =2к = т. Поскольку В 6 [£(.Д),|С(у1)], мы получаем, что с^[£(А), /С(А)] = т. Таким образом, т = п и доказательство завершено.

С*