Эндоморфизмы, автоморфизмы и аппроксимационные свойства некоторых групп с одним определяющим соотношением

• Автор: Тьеджо Даниэль
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Ярославль
• Количество страниц: 114 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение

§1. Свободные произведения групп с объединенной

подгруппой

§ 2. Некоторые свойства групп Сгпп

§ 3. Описание эндоморфизмов группы Стп

§ 4. Автоморфизмы групп Стп

§ 5. Два свойства образов эндоморфизмов группы Сгпп

§ 6. Финитная аппроксимируемость относительно сопряженности групп Стп

§ 7. Финитная аппроксимируемость групп Стп относительно автоморфной эквивалентности
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Группы с одним определяющим соотношением интенсивно изучаются уже на протяжении более чем 70 лет. Началом этих исследований являются основопологающие работы В. Магнуса [18, 19], где была доказана знаменитая теорема о свободе и установлена алгоритмическая разрешимость проблемы тождества слов в группах с одним определяющим соотношением. Важность этих работ В. Магнуса заключается также и в том, что в них впервые предложена методика изучения групп с одним определяющим соотношением при помощи конструкции свободного произведения с объединенной подгруппой.
Постоянный интерес к изучению групп с одним определяющим соотношением объясняется тем, что несмотря на формальную близость этих групп к свободным группам, их свойства могут значительно отличаться от свойств свободных групп, а ряд вопросов, решаемых для свободных групп достаточно просто, для групп с одним соотношением до сих пор остаются открытыми. С другой стороны, здесь иногда удается продвинуться в решении тех проблем, к решению которых в случае произвольных конечно определенных групп нет никаких подходов.
В данной работе рассматриваются группы с одним определяющим соотношением, обладающие представлением вида
втп = (а,Ь- [ат,Ьп] = 1), (1)
где целые числа шип удовлетворяют условиям т > 1 и п > 1 . Здесь будут рассмотрены эндоморфизмы и автоморфизмы этих групп и некоторые их свойства, связанные с финитной аппроксимируемостью.
Эндоморфизмы и автоморфизмы групп с одним определяющим соотношением ранее изучались рядом авторов. Так, в работе Д. Кол-

линза [13] описаны группы автоморфизмов групп Баумслага - Солитера
{а,Ь; а-Чта = Ьп) (2)
в том случае, когда числа тип взаимно просты. Эндоморфизмы групп вида
(а, Р, 1~1а~кЬаЧ~1ак1 = ат) (3)
при |/| ф |ш| описаны А. М. Бруннером [12]; начатое в той же работе описание в терминах порождающих и определяющих соотношений групп автоморфизмов этих групп закончено в работе [2]. Оказалось, в частности, что группы автоморфизмов некоторых из этих групп не являются конечно порожденными, а в тех случаях, когда группа автоморфизмов такой группы конечно порождена, она является и конечно определенной. В связи с этим следует отметить, что до сих пор неизвестно, будет ли группа автоморфизмов произвольной группы с одним определяющим соотношением конечно определенной, если она является конечно порожденной.
С того момента, когда Г. Баумслаг и Д. Солитэр [11] опубликовали первые примеры групп с одним определяющим соотношением, не являютцнхся финитно аппроксимируемыми, усилиями ряда математиков были найдены различные серии финитно аппроксимируемых групп с одним определяющим соотношением. Так, уже в работе [11] (с уточнением С. Мескина [20]) показано, что группа вида (2) является финитно аппроксимируемой тогда и только тогда, когда или абсолютная величина одного из чисел тип равна 1, или абсолютные величины этих чисел равны. В работе [2] установлено, что группа вида (3) финитно аппроксимируема тогда и только тогда, когда |/[ = |т| (необходимость этого условия отмечена в [12]). Мы не будем перечислять здесь другие довольно многочисленные результаты этого сорта, а перейдем к более тонкому свойству финитной

А = ((а) * Я; а = с) и В = «&> * Я; 6я = с1).
Эти обозначения предполагаются фиксированными всюду ниже. Говоря о длине элементов этих групп, мы имеем в виду длину элемента в указанном разложении соответствующей группы в свободное произведение с объединенной подгруппой.
Из указанных разложений групп А, В и Стп в свободное произведение с объединенной подгруппой и свойств этой конструкции следует, что все эти группы не имеют кручения. Кроме того, следствие
4.5 из книги [5] позволяет утверждать, что центр группы А совпадает с подгруппой (с), центр группы В совпадает с подгруппой (б) и центр группы Стп тривиален. Переходя к изложению дальнейших необходимых нам свойств группы Стп, отметим, прежде всего,
Предложение 2.1. Для любого элемента д группы А, не принадлежащего подгруппе Н, имеет место равенство
9~1Нд ПН — (с).
Аналогично, для любого элемента д группы В, не принадлежащего подгруппе Н, имеет место равенство
9~ХНд Г) Н — (ё).
В частности, для любого элемента д из группы А или из группы В и произвольного элемента к £ Н включение д~1кд 6 Н имеет место тогда и только тогда, когда элементы д и /г перестановочны.
В самом деле, объединяемые подгруппы в разложениях групп А и В являются центральными в свободных сомножителях. Поэтому предложение 2.1 следует непосредственно из предложения 1.11.