Некоторые аспекты теории ориентированных (ко)гомологий

• Автор: Солынин, Андрей Александрович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 85 с.

0.1 Терминология и обозначения

1 Ориентированные теории когомологий

1.1 Теории когомологий

1.1.1 Основные определения

1.1.2 Основные свойства теорий когомологий

1.2 Классы Черна и Тома

1.2.1 Структуры Черна и классы Черна

1.2.2 Классы Тома

1.2.3 Ориентирования

1.3 Структуры следа

1.3.1 Определение структуры следа

1.3.2 Структуры Гизина
1.3.3 Отображение Квиллена
1.3.4 Конструкция структуры следа
2 Ориентированные теории гомологий
2.1 Теории гомологий
2.1.1 Определение
2.1.2 Основные свойства теорий гомологий
2.2 Структуры Черна и Тома
2.2.1 Структуры и классы Черна
2.2.2 Структуры Тома и ориентирования
2.3 Структуры следа
2.3.1 Определение
2.3.2 Структуры Гизина
2.3.3 Отображение Квиллена
2.3.4 Конструкция структуры следа
2.4 Мультипликативные пары и двойственность Пуанкаре
2.4.1 Мультипликативные пары
2.4.2 Двойственность Пуанкаре

3 Элементы Черна и Тома в теориях когомологий с изоморфизмом надстройки
3.1 Гомотопическая категория
3.1.1 Определение гомотопической категории
3.1.2 Изоморфизм между группой гомотопических классов и группой Пикара
3.2 Элементы Черна и Тома
3.2.1 Элементы Черна
3.2.2 Элементы Тома
4 Двойственность Пуанкаре в мультипликативных парах
4.1 Теоремы согласованности
4.1.1 Согласованные структуры следа
4.1.2 Согласованность структур следа и двойственности
4.2 Обратная формула проекции
4.2.1 Случай проективизированного расслоения
4.2.2 Случай замкнутого вложения
4.2.3 Случай проекции
5 Гомоморфизм Гизина в ориентированных теориях когомологий
5.1 Структура Эйлера и формула самопересечения
5.1.1 Структуры Черна и Эйлера
5.1.2 Формула самопересечения
5.2 Формула типа Гротендика для старшего класса Черна
5.2.1 Случай универсального расслоения
5.2.2 Случай линейного расслоения над аффинным многообразием
5.2.3 Случай линейного расслоения над произвольным многообразием
5.2.4 Редукция к линейному расслоению
5.3 Эксцесс-формула для обобщенных теорий когомологий
5.3.1 Лемма о диаграмме специального вида
5.3.2 Редукция к нормальному расслоению
5.3.3 Окончание доказательства эксцесс-формулы
6 Гомоморфизм Гизина в обобщенных теориях гомологий
6.1 Структура Эйлера и некоторые формулы в теориях гомологий
6.1.1 Структуры Черна и Эйлера
6.1.2 Формула самопересечения
6.1.3 Формула типа проекции
6.2 Формула типа Гротендика
6.2.1 Случай универсального расслоения
6.2.2 Случай линейного расслоения над аффинным многообразием
6.2.3 Случай линейного расслоения над квазипроективным многообразием
6.2.4 Редукция к линейному расслоению

6.3 Эксцесс-формула для гомологий
6.3.1 Случай ретракции
6.3.2 Редукция к нормальному расслоению
6.3.3 Окончание доказательства

4.1.2 Согласованность структур следа и двойственности
Основной целью главы является доказательство теоремы, сформулированной в [PY] (Corollary 2.3).
Теорема 4.2 Пусть (/|,/!) — согласованные структуры следа на А* и А* соответственно, и пусть Vx(a) = а П [JY] — изоморфизм Пуанкаре. Тогда для любых проективных многообразий X,Y и любого морфизма f :Y —* X выполнены равенства
5 = {Vx)-lfAVy f'=VyfA(Vx)~l.
Для доказательства мы будем использовать обратную формулу проекции: для любого морфизма проективных многообразий f : Y -+ X и любых элементов а 6 А*(Х) и а 6 А+(Х) выполнено равенство fA[ct) П /!(а) = /!(аПа). Доказательству обратной формулы проекции посвящен весь следующий параграф. Доказательство. Проверим равенство /j = {T>x)~^JXDY. Имеем
СVx)-lfAVy(c) = Д*(1)//Л(а Л [У]).
Так как [У] = iry(pt})< W = *A'(M)11
[Y] = 4(И) = (**/)'( И) = }'АЫ) = /'(М).
получаем
Д^(1)//д(аП[Г]) = Д^'(1)//д(аП/'([Х])).
Используя прямую формулу проекции (теорема 2.8):
Д?(1 )//д(а П /!([Л'])) = Д? (1)/(/,(«) П [X]).
Применяя теорему двойственности Пуанкаре 2.7:
Afl'(l)/(/i(«)n[X]) = /,(a).
Проверим теперь тождество /! = д )"'1. Мы имеем
Ъг1Л<РхГа) = /л(АГ(1)/а) П [К].
Используя соотношение [У] = /!([Х]), получаем
/Л(Д?'(1)/а) П [Y] = /Л(ДГ(1)/а) П /!([Х]).
Из обратной формулы проекции следует:
/Л(ДГ(1)/а) П /!([Х]) = /!((ДГ(1 )/а) П |Х]) = }'(а).