Аппроксимируемость корневыми классами свободных конструкций групп

• Автор: Туманова, Елена Александровна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Иваново
• Количество страниц: 101 с.

Оглавление
Введение

Глава 1. Основные понятия

1.1. Аппроксимируемость и отделимость

1.2. Свободные конструкции групп

1.3. Корневые классы

1.4. Расщепляемые расширения и ретракты

1.5. Изолированность

1.6. Регулярность и квазирегулярность

Глава 2. Аппроксимируемость свободных произведений

с нормальными объединенными подгруппами
2.1. Общие условия аппроксимируемости обобщенных свободных
произведений групп
2.2. Некоторые свойства рассматриваемых обобщенных свободных
произведений
2.3. Основная теорема
2.4. Случай, когда группа Агйс(Н) является абелевой
или совпадает с одной из подгрупп Кп%а{Н) и (рАиЬв(К)^1..
2.5. Случай, когда группа АиЬс{Н) конечна
2.6. Случай, когда объединенная подгруппа имеет конечный ранг
Гирша-Зайцева
2.7. Примеры
Глава 3. Аппроксимируемость свободных произведений
с объединенными ретрактами
3.1. Случай, когда объединенная подгруппа является ретрактом
в одном из свободных множителей

3.2. Случай, когда объединенная подгруппа является ретрактом
в каждом свободном множителе
3.3. Примеры
Глава 4. Аппроксимируемость HNN-расширений с совпадающими
связанными подгруппами
4.1. Общие условия аппроксимируемости HNN-расширений групп.
4.2. Строение и некоторые свойства рассматриваемых
HNN-расширений
4.3. Основная теорема
4.4. Случай, когда группа Autq (Н) является абелевой
4.5. Случай, когда группа Autg(H) является конечной
4.6. Случай, когда Autg(H) = Autв(Н)
4.7. Случай, когда связанная подгруппа имеет конечный ранг
Гирша-Зайцева
4.8. Случай, когда связанная подгруппа является ретрактом
в базовой группе
4.9. Примеры
Заключение
Список литературы
Список публикаций автора по теме диссертации

Введение
Актуальность темы исследования. В современной теории групп значительное место занимают свободные конструкции групп, а именно, свободные произведения, обобщенные свободные произведения (т. е. свободные произведения с объединенными подгруппами) и 1Ш]-расширения. Изучение различных свойств этих конструкций, как правило, осуществляется в рамках ветви теории групп, называемой комбинаторной теорией групп. Одно из направлений современных исследований по данной тематике заключается в рассмотрении аппроксимационных свойств свободных конструкций групп. Наиболее изученным среди таких свойств является ставшее уже классическим свойство финитной аппроксимируемости, то есть аппроксимируемости классом Т всех конечных групп.
Впервые понятие финитно аппроксимируемой группы появилось в работе А. И. Мальцева [17], опубликованной в 1940 году, и вскоре стало широко исследуемым не только в нашей стране, но и за рубежом. Сравнительно быстро было установлено, что обычное свободное произведение наследует от сомножителей выполнимость данного свойства [40]. В то же время стало понятно, что ситуация с обобщенным свободным произведением, а позднее — и с Н N N - р ас ш и р е н и е м является более сложной: группы, построенные таким образом из финитно аппроксимируемых групп, могут не быть финитно аппроксимируемыми. Это привело к возникновению значительного числа работ, направленных на получение достаточных условий сохранения свободными конструкциями свойства финитной аппроксимируемости.
Г. Баумслаг доказал, что свободное произведение двух конечных групп с объединенными подгруппами является финитно аппроксимируемой группой [32]. Представленная в статье [32] методика изучения финитной аппроксимируемости обобщенных свободных произведений была перенесе-

Таким образом, для произвольного неединичного элемента g группы G. лежащего в II, существует подгруппа Dq Е JC*(G) такая, что g (j Dq.
Пусть теперь g ф Н и g = д g2 ■.. дп — несократимая запись элемента д. Так как g ф Н, то для любого к Е {1,..., п} дк ф Н, причем если п > 1, то соседние слоги лежат в разных свободных множителях.
Пусть для некоторого к Е {1,,п} g к Е А. Так как при этом g к ф Н и подгруппа Н отделима семейством JC*(G,A), то существует подгруппа Rk Е /C*(G,A) такая, что дк ^ HRk. Если дк Е В, то аналогичным образом находим подгруппу Sk £ К,* (G, В) такую, что дк ф KSk-
По определению семейства К,* (G, А) для любой подгруппы Rk данного семейства существует подгруппа Dk Е /С* (G) такая, что /Т/с = Dk П А. Аналогично для каждой подгруппы Sk семейства /С* (G, В) существует подгруппа Dk Е IC*(G) такая, что Sk = Dk П В.
Обозначим через D пересечение всех подгрупп IJk. где к Е {1...., п}. В силу утверждения 1 предложения 1.1.1 De К.* (G). Обозначим R = АП D. S = В П D. Тогда подгруппа R нормальна в группе А и, если дк Е А, то g к ф. IIR. Аналогично подгруппа S нормальна в группе В и, если g к Е В, то дк ф KS. В силу предложения 2.1.1 подгруппы R и S (II, К, ^-совместимы и существует гомоморфизм группы G u s на /С-группу G/D, действующий на подгруппах А/R и В/S инъективно. Из утверждения 1 предложения 1.3.5 теперь следует, что группа G r.s /С-аппроксимируема.
Подействуем гомоморфизмом Pr.s на элемент д:
gpR,s = {gi92 ■ ■ • gn)PR,s = gPR,sg2PR,s ■ ■ • gnPR,s Ф
Действительно, если дк E A, то дк ф. HR и потому gkR ф HR/R-, если g к Е В, то g к ф KS, значит, gkS ф KS/S. Причем если п > 1, то соседние слоги лежат в разных свободных множителях.
Таким образом, если п = 1, то g Pr.s не принадлежит объединяемой подгруппе, значит, отличен от 1; если п > 1, то получаем несократимую запись элемента gpR:s группы Gr.s длины, большей 1. Следовательно, gpR,s ф
Так как группа Gr.s /С-аппроксимируема, существует гомоморфизм ф этой группы на некоторую группу из класса /С такой, что дря^Ф Ф 1- В силу произвольности выбора элемента g отсюда вытекает, что группа G /С-аппроксимируема. Предложение доказано. □