Изоморфизмы решеток подалгебр полуколец непрерывных неотрицательных функций

• Автор: Сидоров, Вадим Вениаминович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Киров
• Количество страниц: 136 с.

Оглавление
Введение

1 Определяемость хьюиттовских пространств решетками подалгебр полуколец С+(Х)

1 Однопорожденные подалгебры

2 Подалгебры специального типа

3 Доказательство теорем определяемости

2 Изоморфизмы решеток подалгебр полуколец С+(Х)

4 Изоморфизмы решеток Ai(C+(X))

5 Изоморфизмы решеток А(С+(Х))

3 Изоморфизмы решеток Âf всех подалгебр с единицей полуколец, порожденных неотрицательными функциями

6 Изоморфизмы однопорожденных полуколец с единицей

7 Вспомогательные результаты
8 Изоморфизмы решеток Af, | Im/|
9 Изоморфизмы решеток А/, | Im/| = п
10 Изоморфизмы решеток А/, | Im/|
Список литературы
Предметный указатель

Введение
Диссертация посвящена одному из разделов функциональной алгебры — теории полуколец непрерывных функций. Исследуются изоморфизмы решеток подалгебр полуколец С+(Х) всех непрерывных неотрицательных действительнозначных функций, определенных на топологических пространствах X.
Полукольца непрерывных функций возникли в рамках классической теории колец С{Х) всех непрерывных действительнозначных функций на топологических пространствах X, изучение которых началось во второй половине 30-ых годов 20 века с работ М. Стоуна 1937 г. [38], И. М. Гельфанда и А. Н. Колмогорова 1939 г. [12], Э. Хьюитта 1948 г. [35], а в 1960 г. вышла монография [31] Л. Гиллмана и М. Джерисона, подытожившая первые двадцать лет развития теории колец непрерывных функций. Более подробно развитие теории колец непрерывных функций отражено в обзорах Е. М. Вечтомова [5,6,40,41] и М. Хенриксена [27,28]. Видимо, впервые понятие полукольца в явном виде появилось в 1934 г. в статье [39] Г. С. Вандивера. Однако, как отмечает К. Глазек [26], фактически полукольца рассматривались с конца 19 века в работах, связанных с изучением идеалов колец [25,36] и с вопросами аксиоматики натуральных и неотрицательных рациональных чисел [29,30]. В настоящее время теория полуколец является активно развивающимся разделом современной алгебры. Полукольца имеют приложения в дискретной математике, компьютерной алгебре, идемпотентном анализе, теории оптимального управления и других разделах математики. Отметим книги Волана [32,33], Хебиша и Вейнерта [34], содержащие богатый материал по теории полуколец, множество примеров и обширную библиографию.
Введение

Многие полукольца имеют хорошие функциональные (пучковые) представления [19,20]. Это делает актуальным изучение полуколец непрерывных функций. Систематическим изучением колец, полуколец и полуполей непрерывных функций занимаются Е. М. Вечтомов и его ученики. Результаты этих исследований отражены в диссертациях [2,16,17,19,21,22]. Отметим, что планомерное изучение свойств полуколец непрерывных функций начато в работе В. И. Варанкиной, Е. М. Вечтомова и И. А. Семеновой 1998 г. [3]. Имеются обзоры, посвященные полукольцам непрерывных функций [11,24].
При исследовании полуколец большое внимание уделяется методам и результатам, которые удается перенести из теории колец. Существенное место в теории колец С(Х) непрерывных функций занимает круг вопросов, связанных с попыткой выяснить, насколько топологическое пространство X или отдельные его свойства определяются теми или иными алгебраическими свойствами кольца С(Х) и связанных с ним алгебраических систем (см. обзоры [5,6]). Сюда же относится задача определяемости топологических пространств. Определяемость топологического пространства X в классе К топологических пространств производной алгебраической структурой А{Х) означает, что для произвольного топологического пространства У из К изоморфизм А(У) = А(Х) влечет гомеоморфизм 1939 г. И. М. Гель-
фанд и А. Н. Колмогоров [12] доказали одну из первых теорем определяемости топологических пространств: произвольный компакт X определяется кольцом С(Х). Эта теорема послужила образцом для различных обобщений и углублений как в сторону расширения класса определяемых пространств с класса компактов, так и в сторону ослабления структуры С(Х) и привлечения новых объектов А{Х). Так, в 1948 г. Э. Хыоитт [35] установил определяемость произвольного хьюиттовского пространства X кольцом С(Х), в 1988 г. Е. М. Вечтомов [4] доказал определяемость любого хьюиттовского пространства X решеткой ЫС'(Х') всех идеалов кольца С(Х), а в 1997 г. им доказана [9] определяемость всякого хьюиттовского пространства X решеткой А(С(Х)) всех подалгебр кольца С{Х).
Заметим, что для всякого топологического пространства X кольцо С(Х) = С+(Х) — С+(Х) есть кольцо разностей полукольца С+(Х), а полу-
Глава 1. Определяемость хьюиттовских пространств

и-подалгебры [/].
II. Докажем, что произвольная бесконечнозначная не ер-, не Ь-подалгебра [/] Е Ах(С'+(Х)) будет и-подалгеброй тогда и только тогда, когда для произвольной Ь-, и-подалгебры [д все однопорожденные не ер-, Ь-подалгебры из [/] V [д являются и-подалгебрами.
Необходимость очевидна. Достаточность установим методом от противного. Пусть для произвольной Ь-, и-подалгебры [д все однопорожденные не ер-, Ь-подалгебры из [/] V [д являются и-подалгебрами, но бесконечнозначная не ьр-, не Ь-подалгебра [/] является г-подалгеброй. Для функции д Е С+(Х), действующей по правилу

1, на {х Е X: f(x) 1}, /_1, на {х EX: f(x) > 1},
inf д = 0, поскольку функция / неограничена сверху, и д 1. Кроме того, подалгебра [fg С [/] V [д является Ь-, z-подалгеброй. Противоречие. Значит, бесконечнозначная не sp-, не Ь-подалгебра [/] является и-подалгеброй. □
Итогом предложений 2.1-2.7 служит важная
ТЕОРЕМА 2.1. Для произвольного топологического пространства X свойства подалгебры из решетки А(С+(Х)) быть sp-подалгеброй, Ъ-подалгеброй, и-подалгеброй или z-подалгеброй имеют решеточную характеризацию в Ai(C+{X)).
СЛЕДСТВИЕ 2.2. Для произвольного топологического пространства X свойства подалгебры из решетки А{С+(Х)) быть sp-подалгеброй, Ъ-подалгеброй, и-подалгеброй или z-подалгеброй имеют решеточную характеризацию в А(С+(Х)).
Доказательство. Воспользуемся предложением 1.1 и для произвольной подалгебры А Е А(С+(Х)) -рассмотрим подалгебру А V К+ Е А(С+(Х)). Легко видеть, что подалгебра А является sp-подалгеброй, Ь-подалгеброй, и-подалгеброй или z-подалгеброй тогда и только тогда, когда ей будет подалгебра А V R+. Остается сослаться на теорему 2.1. □