Структура и тождества некоторых алгебр лиевского типа

• Автор: Рацеев, Сергей Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Ульяновск
• Количество страниц: 103 с. : ил.

Глава 1. Предварительные сведения

1.1. Основные определения и обозначения

1.2. Некоторые оценки роста, связанные с диаграммами Юнга

Глава 2. Многообразия алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом

2.1. Понятие га-алгоритма и его свойство

2.2. Рост подмногообразий в Л^Л

2.3. й'п-модули многообразий алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом

2.4. Конечная базируемость некоторых многообразий алгебр Лейбница

Глава 3. Экстремальные многообразия алгебр Лейбница

3.1. Многообразие алгебр Лейбница, связанное со стандартными тождествами

3.2. Многообразие алгебр Лейбница с почти конечной кодлиной
Глава 4. Тождества в алгебрах Пуассона
4.1. Свободные алгебры Пуассона
4.2. Рост и кодлина пространств специального вида многообразий алгебр Пуассона
Литература

Алгебры Лейбница определяются тождеством (xy)z = (xz)y + x(yz) и являются обобщениями алгебр Ли. Если в алгебре Лейбница выполняется тождество х2 = 0, то она является алгеброй Ли. Одно из первых упоминаний алгебр Лейбница встречается в работе А.М. Блоха [7]. Эта тематика начала активно развиваться в 90-х годах, появился ряд публикаций отечественных и зарубежных авторов: A.A. Михалев, V. Drensky, G.M.P. Cattaneo [67], J.-L. Loday, T. Pirashvili [77] и др.
Одной из важных числовых характеристик многообразия V является последовательность {cn(Vr)}n>i размерностей пространств полилинейных элементов степени п от переменных xi,X2 хп, принадлежащих относительно свободной алгебре данного многообразия. Асимптотическое поведение данной последовательности называют ростом многообразия V.
О росте многообразий ассоциативных алгебр хорошо известен следующий результат А. Регева [82]: многообразие ассоциативных алгебр У, в котором выполнено нетривиальное тождество степени га, удовлетворяет неравенству cn(V) < (га — 1)2п для любого п.
В отличие от ассоциативных алгебр существуют многообразия алгебр Ли, в которых выполняются нетривиальные тождества, со сверхэкспонен-циальным ростом (т.е. сверху не ограничиваются никакой экспонентой). Одним из хорошо изученных примеров таких многообразий является многообразие алгебр Ли AN2, определяемое тождеством {xX2Xz){x^x^Xq) — 0 (см. [9], [12], [19], [38], [71]). Для последовательности сДАА^) выполняется следующее равенство ([41]):
cn(A/72) — Vn(l +o(l))n.
Последовательность размерностей полинильпотентного многообразия алгебр Ли NSq...NS2NSl представляет собой еще более быстро растущую функ-
«|+о(1)
(п!) ч , я=2,
■» 9>3,
цию натурального аргумента ([42]):
(1п(9~2) п^1+о(1)

п(Ш)
х = 1п(1п^ х), 1п^ X = 1п х. В случае многообразий алгебр Лейбница построен пример многообразия, похожего по своим свойствам на многообразие АЫ2. Оно определяется тождеством 2/1(2/2(2/32/4)) = 0 и имеет сверхэкспоненциальный рост ([61]).
Известно ([14]), что для произвольного числа а рост нетривиального многообразия алгебр Ли не превосходит Если для произвольного многообразия V определить функцию сложности

то она будет являться целой функцией комплексного аргумента для нетривиальных многообразий алгебр Ли (см. [45]). В.М. Петроградским в [40] и [42] была предложена шкала типов сверхэкспоненциального роста и доказан следующий аналог теоремы А. Регева ([42]): для многообразия алгебр Ли V, удовлетворяющего нетривиальному тождеству степени т > 3, существует такая бесконечно малая, зависящая только от т, что
При экспоненциальном росте многообразия V для более точного изучения его роста вводятся понятия нижней и верхней экспоненты:
ЕХР(V) = Иш Усп(К), ЁХР(У) = Йт Усп(У).
П—> ОО п—*00
Если эти два числовые значения совпадают, то это обозначается как ЕХР(У). В случае основного поля нулевой характеристики известны следующие результаты: в ассоциативном случае А. Джамбруно и М.В. Зайцев
Все тождества вида (13) являются следствиями тех, у которых степени мономов не превосходят числа к — 1 и |w| < 1 (доказательство
для случая со — 0 можно найти в [54] и [^] стр. 226, для случая и> = 1 доказательство проходит аналогично). Лемма доказана.
Следствие 2.6. Пусть V С С&. Тогда аксиоматический ранг многообразия V не превосходит числа к2 + 1.
Доказательство. Аксиоматический ранг многообразия Ск не превосходит к2 + 1 (лемма 2.8). Полилинейная часть многообразия Ск степени п Рп(Ск) есть сумма неприводимых 5п-модулей KSnfrd, которые соответствуют диаграммам Юнга с не более к—1 клетками в первом столбце. Если V С Ск, то в многообразии V выполняется тождество fTd = 0, где полином fTd соответствует таблице Юнга rd, первый столбец которой имеет не более к — 1 клеток. Данное тождество эквивалентно тождеству gTd = О, которое получается из fTd = 0 путем отождествления между собой переменных, индексы которых принадлежат одним и тем же строкам таблицы rd. Следствие доказано.
Далее нам понадобятся два предложения, которые в [4] доказаны для случая алгебр Ли, но являющиеся верными для произвольных алгебр, в частности, для случая алгебр Лейбница.
Предложение 2.1. Для конечно базируемого многообразия алгебр Лейбница V эквивалентны следуют,ие условия:
г) многообразие V шпехтово;
ii) алгебра L/V(L) вербально нетерова (L = L(X) — свободная алгебра Лейбница счетного ранга).
Если аксиоматический ранг любого подмногообразия в V не превосходит некоторого числа т, то эти условия эквивалентны такому условию:
ni) алгебра Lm/V(Lm) вербально нетерова (Lm = Ь(х, ...,хт)).