Характеры группы рациональных перекладываний

• Автор: Горячко, Евгений Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 55 с.

Оглавление
Введение

Основные результаты диссертации

Структура диссертации

1 Группа перекладываний: алгебраический подход

1.1 Предварительные сведения

1.2 К0-функтор группы II

1.2.1 Полукольцо разбиений

1.2.2 Описание кольца Ко (П.) в терминах симметрических

функций

1.3 Некоторые алгебраические свойства неразложимых характеров группы Г?

1.3.1 Мультипликативность
1.3.2 Случай перестановок, длины циклов которых не взаимно просты в совокупности
2 Полное описание неразложимых характеров
2.1 Основная теорема
2.2 Случай к < оо
2.2.1 Вспомогательные леммы
2.2.2 Полиномиальность неприводимых характеров симметрических групп
2.2.3 Доказательство теоремы 2.
2.3 Случай к = сю
2.3.1 Арифметическая лемма

2.3.2 Комбинаторная лемма
2.3.3 Доказательство теоремы 2.
3 Простота ветвления
3.1 Постановка задачи
3.2 Критерий простоты ветвления
3.2.1 Лемма о произведении кратностей
3.2.2 Доказательство теоремы 3.
3.3 Проверка критерия для групп СЬ(п,
3.3.1 Лемма о двойных классах смежности
3.3.2 Доказательство теоремы 3.
Литература

Введение
Основной предмет данной работы — не более чем счетные локально-конечные группы (ЬР-группы) и их характеры. Ясно, что ЬР-группы и только они суть индуктивные пределы не более чем счетных семейств конечных групп; отсюда следует, что комплексная групповая алгебра ЬР-группы есть локаль-но-полупростая алгебра (ЬБ-алгебра), то есть индуктивный предел не более чем счетного семейства комплексных конечномерных полупростых алгебр (в нашем случае это групповые алгебры конечных групп).
Систематическое развитие теории ЬБ-алгебр было предложено А. М. Вер-шиком и С. В. Керовым в 1980-х годах (см., например, статьи [5, 8, 33]). Начнем с определения основных понятий этой теории.
Определение 1. Ко-функтор Ко (А) ЬЭ-алгебры А есть упорядоченная абелева группа с порядковой единицей, состоящая из классов изоморфизма конечно-порожденных проективных виртуальных А-модулей. Конус неотрицательных элементов Ко-функтора состоит из истинных А-модулей, а порядковой единицей является А-модуль, соответствующий регулярному представлению алгебры А (то есть алгебра А как модуль над собой).
Ко-функтор ЬР-группы С определяется как Ко (С [С?]).
Определение 2. Комплексная функция х па ЬЬ-группе <7 — характер группы (7, если она центральна (х(з^) — х{^-д) Для любых д, Ь Є Є), нормирована (х(1) = 1), неотрицательно определена (матрица [хІЯіЗ], 1))і<|; 7<п неотрицательно определена для любых п Є N и ді,..., дп е 67).
Определение 3. Характер ЬР-группы будем называть неразлоэюимым, если его нельзя представить в виде нетривиальной выпуклой комбинации характеров данной ЬР-группы.

Преобразуем числитель полученной дроби, сокращая в нем общее слагаемое сі^піа{иУ и заменяя коэффициенты на их модули, а величины щ(н) — на их максимальные значения п/г, где і Є {1,...,у}; таким образом мы оценим числитель многочленом от п степени меньше 2j. При этом знаменатель полученной дроби — многочлен от п степени 2j, поэтому вся дробь оценивается выражением Сц/п для всех п ^ 2/с и некоторой константы С(1. Для завершения доказательства определим константу С как максимум среди констант Сд для всех диаграмм ц с не более чем к клетками. □
Теперь мы можем доказать теорему 2.4. Рассмотрим указанную в ее формулировке сеть (n)nєN■ Пусть I Е N и и Е Эр, используя следствие из теоремы 2.5 для перестановки гіПіс1то и диаграммы Л/„г (при этом Іт — гі(Агто) = к по условию теоремы 2.4 и ясно, что аДиГНфп) = таї (и)), мы получаем, что существует такая константа С, что для всех т Е (у IV) П N выполнено
Легко видеть, что, переходя в данной оценке к пределу при т —* оо, мы получаем требуемое утверждение.
2.3 Случай к = оо
Используя то, что = ^ ~~ дельта-функция в единице на группе II, переформулируем теорему 2.3 в случае к = оо следующим образом.
Теорема 2.6. Пусть (Ап)пед; 6 Пледт Уп (где N — кофинальное подмножество в N), гДАц) ^ сДАп) для любых п Е N, Итп6дг(тг. — Гх(Ага)) = оо; тогда для любых I Е N и и Е {4ф} мы имеем Нтте(1Я)тХлгт(и П ^то) = 0.
Докажем, что теорему 2.6 достаточно проверить только для случая перестановок, длины циклов которых взаимно просты в совокупности. Пусть сначала сеть (х^)п&ы сходится; тогда ее предел — неразложимый характер группы И,, обращающийся в 0 на перекладываниях, отвечающих упомянутым перестановкам. Используя алгебраическую часть описания неразложимых характеров (см. следствие из теоремы 1.3), мы получаем, что он обращается в 0 и на остальных неединичных перекладываниях и, значит, равен <6Д.