Строение производных категорий грассманианов

• Автор: Фонарёв, Антон Вячеславович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 83 с.

Содержание
Введение

Глава 1. Предварительные сведения

1.1. Исключительные наборы и полуортогональные разложения

1.2. Комбинаторика диаграмм Юнга

1.3. Функторы Шура

1.4. Грассманианы и теорема Бореля-Ботта-Вейля

1.5. Капрановский набор

Глава 2. Конструкция расслоений £Х4‘

Глава 3. Ступенчатые комплексы

3.1. Мотивировка
3.2. Ступенчатые комплексы для Ых
3.3. Ступенчатые комплексы для £
Глава 4. Исключительные наборы на грассманианах
4.1. Гипотеза Кузнецова-Полищука
4.2. Доказательство гипотезы
Глава 5. Лефшецевы разложения
5.1. Предварительные сведения
5.2. Верхнетреугольные диаграммы
5.3. Лефшецевы разложения производных категорий грассманианов .
5.4. Полуортогональность и полнота
Литература

Введение
Актуальность темы исследования. Данная работа посвящена исследованию строения производных категорий грассманианов. Многообразия Грассма-на — один из важнейших объектов классических объектов геометрии. В частности, они позволяют перенести вопросы линейной алгебры в геометрический мир: грассманиан Бг(к, V) параметризует ^-мерные подпространства в фиксированном векторном пространстве V. На Сг(А:, У) можно ввести различные геометрические структуры: топологического пространства, гладкого компактного дифференцируемого многообразия, гладкого проективного алгебраического многообразия. Мы будем придерживаться алгебро-геометрического взгляда.
В начале второй половины XX века, с появлением гомологической алгебры, появилась необходимость дать удобное описание мира, в котором живут производные функторы, в частности, когомологии векторных расслоений. Так, благодаря А. Гротендику и его школе, появилось понятие производной категории, окончательно сформировавшееся в диссертации Ж.-Л. Вердье, которая была опубликована лишь 30 лет спустя [31]. Изначально производные категории были нужны Гротендику для того, чтобы сформулировать далеко идущее обобщение двойственности Серра, но за следующие несколько десятилетий они проникли во многие другие области математики. Стоит упомянуть школу М. Сато, которая именно в терминах производных категорий построила теорию И-модулей и микролокального анализа (хороший обзор имеется в книге [19]).
Долгое время производные категории когерентых пучков на алгебраических многообразиях были объектами исключительно гомологической природы. Одним из основополагающих результатов в области строения производых категорий стал результат А. Бейлинсона, которому удалось дать явное описание ограниченной производной категории когереных пучков на проективном пространстве (см. [1]). Через несколько лет М. Капранов в работе [4] обобщил описание Бейлинсона на случай грассманианов. Поиск естественных структур

в производных категориях привел к появлению таких понятий, как исключительный набор и полуортогоналъное разложение, которые позволяют описать строение прозводной (более общо, триангулированной) категории в терминах меньших компонент (см., например, [2, 18]). В этих новых терминах результаты Бейлинсона и Капранова состоят в построении полных исключительных наборов на проективных пространствах и грассманианах соответственно.
Очередным толчком к изучению производных категорий алгебраических многообразий послужило замечательное открытие, принадлежащее А. Бондалу и Д. Орлову: оказалось, что производная категория «помнит геометрию». Было доказано, что алгебраическое многообразие с обильным или антиобильным каноническим классом полностью определяется своей производной категорией (см. [12, 13]). Примерно тогда же производные категории когерентных пучков стали центральным объектом в гипотезе о гомологической зеркальной двойственности, математическом обобщении физического феномена, предложенном М. Концевичем на международном математическом конгрессе, проходившем в 1994 году в Цюрихе (см. [21]). Так вопрос изучения строения производных категорий стал одним из центральных в современной алгебраической геометрии.
Другой сюжет алгебраической геометрии, прочно связанный с производными категориями, — это теория гомологической зеркальной двойственности, предложенная А. Кузнецовым в качестве категорного аналога классической проективной двойственности (см. [22]). Данная теория позволяет делать утверждения о строении производных категорий линейных сечений алгебраических многообразий. Необходимым ингридиентом гомологической проективной двойственности являются полуортогональные разложения особого вида, называемые лефшецевыми, которые также тесно связаны с вопросами построения катс-горных разрешений особенностей алгебраических многообразий (см. [24]).
Данная работа посвящена изучению строения производных категорий грас-сманианов: построению исключительных расслоений, полных исключительных наборов и лефшецевых разложений. Несмотря на то, что некоторые полные ис-

Наконец, (У/УУУ и (УуУУ)А лежат в двойственном капрановском наборе на X', откуда получаем необходимое условие (3 Э а. Заметим, что при а = А и /3 = р единственное нетривиальное пространство
ЕхН (Ыа % (У/иуР, ЕХ'У = Нот («“ ® (У/Ы)~р, £х■'*) = к одномерно, причем все морфизмы эквивариантны. □
Введем на элементах частичный порядок
(а,/3) -<1 (Л,/х) 4Ф- а I) А или а = А, /3 Э р.
Следствие 2.0.8. В производной категории ИЬ(Х) имеется исключительный набор вида
(£х^
У ) Мевю,н с любым полным порядком <, согласованным с -<1.
Доказательство. Исключительность интересующих нас расслоений £А’м была проверена в Предложении 2.0.7, необходимо проверить полуортогональность. Пусть (а, /3) > (А,д) — пара элементов из В№д. Тогда (с*,/3) 7^1 (Х,р). Мы хотим показать, что Ел* (£“•£, £ху = 0. На £а^ имеется фильтрация с присоединенными факторами вида ЫТ ® (V/1А)~", причем т С а, V С (3. В то же время, условие (а,/9) (А,р) замкнуто относительно перехода к поддиаграммам т С а, о С. [3. Остается применить Предложение 2.0.7. □
Следствие 2.0.9. Пусть (Х,р) £ В№д. Тогда в эквивариантной категории БЬС(Х) расслоения
Г’ТсЛ.К,.
образуют левый двойственный набор к исключительному набору
(и- ® (Г/К)-«)ЛЛК(1.