Средние значения чисел Фробениуса, длин алгоритмов Евклида и характеров Дирихле

• Автор: Фроленков, Дмитрий Андреевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 103 с.

Содержание
Введение

0.1. Общая характеристика работы

0.2. Обозначения

0.3. Содержание работы

Глава 1. Среднее значение чисел Фробениуса с тремя аргументами

1.1. Вспомогательные утверждения и обозначения

1.2. О функции Редсета

1.3. Выделение плотности

1.4. Разделение задачи на отдельные случаи

1.5. Вычисление сумм первого типа

1.6. Вычисление сумм второго типа
1.7. Вычисление сумм третьего типа
1.8. Доказательство теоремы 4
Глава 2. Асимптотическое поведение первого момента для числа
шагов в алгоритме Евклида по избытку и недостатку
2.1. О сумме дробных долей
2.2. Вспомогательные утверждения
2.3. Доказательство теоремы 5
2.4. Доказательство теоремы 6
2.5. Доказательство теоремы 7
Глава 3. Новый численный вариант неравенства Пойя -Виноградова
3.1. Метод Быковского
3.2. Доказательство теоремы 8
Список литературы

Введение
0.1. Общая характеристика работы
Диссертация подготовлена в отделе алгебры и теории чисел Федерального государственного бюджетного учреждения науки Математического института имени В.А. Стеклова Российской Академии наук.
Актуальность темы диссертации.
Настоящая диссертация посвящена изучению средних значений чисел Фробениуса и количества шагов в алгоритмах Евклида, а также исследованию сумм характеров Дирихле. Все три задачи являются классическими задачами аналитической теории чисел, ими занимались соответственно: В.И. Арнольд, Я. Бургейн, Я.Г. Синай; Г. Хейльбронн, Д. Хенсли; И.М. Виноградов, Д. Пойя, Э.Ландау, А. Хилдебранд,
А. Гранвиль, К. Саундарараджан и многие другие.
Изучение вопроса о поведении чисел Фробениуса в среднем началось в 1994 г. со статьи Д. Дейвисона [2], в которой им были сформулированы две гипотезы (см. § 0.3.1). Чуть позже В.И. Арнольд [27], [28] предположил, что верны даже более сильные утверждения о средних значениях чисел Фробениуса. Для случая чисел Фробениуса от трех переменных гипотезы Д. Дейвисона и В.И. Арнольда в более сильной форме были доказаны
A.B. Устиновым [36] в 2009 г. В той же работе A.B. Устинов предположил, что при усреднении по всем трем переменным может быть получен еще более точный результат. В настоящей диссертации доказывается это предположение A.B. Устинова. Отметим, что поведение чисел Фробениуса от произвольного числа аргументов было исследовано в работах Й. Марклофа [14] и А. Стромбергссона [26].
Первые результаты о среднем количестве шагов в стандартном алгоритме Евклида были получены Г. Хейльбронном [8] в 1968 г. В последствии целый ряд математиков последовательно уточняли результат Хейльбронна (формулировки могут быть найдены, например, в [37]) . Другим направлением исследований стало получение аналогичных результатов для модифицированных алгоритмов Евклида (см. работы
A.B. Устинова [39], [40] и Е.Н. Жабицкой [31], [32]). В
настоящей диссертации доказываются новые оценки остаточных членов в асимптотических формулах для числа шагов различных алгоритмов Евклида.

0.1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Первые нетривиальные оценки сумм характеров Дирихле были независимо получены и опубликованы Д. Пойя и И.М. Виноградовым в 1918 г (результат получил название “неравенство Пойя-Виноградова”). Существенное усиление этого неравенства было получено лишь в 2007 г. А. Гранвилем и К. Саундарараджаном [4]. Позднее, данный результат был улучшен JI. Голдмакером [5]. В этой проблематике важной задачей является также получение наиболее точной константы в неравенстве Пойя-Виноградова, так как известно, что эта константа связана с оценкой величины минимального квадратичного невычета. На сегодняшний момент, наилучшее значение константы принадлежит А. Гранвилю и К.Саундарараджану [4]. Однако в некоторых задачах важнее оказывается не информация об этой константе, а использование численно точной формы неравенства Пойя-Виноградова. В настоящей диссертации мы доказываем новый вариант численно точного неравенства Пойя-Виноградова, улучшая предыдущий результат К. Померанца [20].
Научная новизна полученных результатов. Доказанные результаты являются новыми, полученными автором самостоятельно.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту
• найдена асимптотическая формула для среднего значения чисел Фробениуса с тремя аргументами при усреднении по трем параметрам (теорема 4);
• получены новые остаточные члены в асимптотических формулах для первых моментов числа шагов в различных алгоритмах Евклида (теоремы 5 и 6); ■
• получен новый численный вариант неравенства Пойя-Виноградова (теорема 8).
Методы исследования. В работе используются методы разработанные A.B. Устиновым, методы теории цепных дробей, идеи из элементарного доказательства А.Сельберга асимптотического закона распределения простых чисел, а также результаты о тригонометрических суммах.
Практическая значимость полученных результатов.
Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в различных вопросах, связанных с числами Фробениуса, а также в задачах, в которых необходим численный вариант неравенства Пойя -Виноградова.
Личный вклад соискателя. Все результаты диссертации получены автором самостоятельно.
Апробация работы. Результаты настоящей диссертации докладывались автором на следующих семинарах и международных конференциях.
• кафедральный семинар кафедры теории чисел под руководством чл.-корр. РАН 10. В. Нестеренко и д.ф.-м.н. Н. Г. Мощевитина;
• семинар “Арифметика и геометрия” под руководством д.ф.-м.н.
Н. Г. Мощевитина, к.ф.-м.н. О. Н. Германа и к.ф.-м.н. И. П. Рочева;
1.5. ВЫЧИСЛЕНИЕ СУММ ПЕРВОГО ТИПА
1.5.2. Случай 2.
Лемма 10. Справедлива следующая асимптотическая формула
^+Е *>мо С? я+“>+ т(1+“)1ог т)
г]5 т|5 ' ^
где Е21 определена в (1.21).
Доказательство. Вычислим отдельно суммы по областям
П21 = |У1 < п ^ оГ*~к> а{п-к) <(Э ^ ст|
Г Я Л + аА;2 Д - л(Э'
°22 = ^<П^0Ч^’ а{п-к)<<2^ -
(1) Вычислим сумму (<3' + <5 + аА:).
(п,<3)еП
Е Е =
у'+ак
^а2пк + + акС^' + О (ап) + О (<5' + аА;)^
<Э'+аА:
= (“2| + “«?') ~и')+¥ ((Q-fc.lt)» - £/0 +
+о (°чта)+° (лг+“*«')+° (“й^р)+°(л)=
- а* (Л - 17.(0' + а*))- (_А_ +
(((? + а*)5-^) +0 (ЛочЬь) +°(“(0^Ь?) ‘ (1'
Мы воспользовались тем, что из <5' ^ Нг — ак следует