Сопряженная плотность и факторизуемость подгрупп групп лиева типа

• Автор: Зюбин, Сергей Александрович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 54 с.

Содержание
Введение

Наиболее употребительные обозначения

Глава 1. Факторизация и определяющие соотношения обобщенных конгруэнц- подгрупп

§1.1. Группы Шевалле и конгруэнц-подгруппы

§1.2. Факторизация групп Шевалле и конгруэнц-подгрупп

§1.3. Факторизация обобщенных конгруэнц-подгрупп скрученных групп Шевалле типов 2 Ф = 2А2„_1,2 -0„,2 Е$

§1.4. Факторизация обобщенной конгруэнц-подгруппы

скрученной группы Шевалле типа 2Ф = 2Агп

§1.5. Определяющие соотношения обобщенных конгруэнц-

подгрупп групп Шевалле
Глава 2. Сопряженно плотные подгруппы и вопрос П. Ноймана
§2.1. Вопрос П. Ноймана и основные результаты
§2.2. Сопряженно плотные подгруппы произвольной группы
§2.3. Гипотеза П. Ноймана для группы СЬч{К) над локально конечным полем К.............................' . . .
§2.4. Сопряженно плотные подгруппы групп лиева типа
ранга
§2.5. Вопрос П. Ноймана для групп лиева типа ранга 1 над
локально конечным полем
Список литературы

Введение
В диссертации исследуются вопрос П. Ноймана о подгруппах группы лиева типа над полем, получивших название сопряженно плотных, и факторизации обобщенных конгруэнц-подгрупп над кольцами.
В различных задачах теории групп возникают подгруппы, имеющие непустое пересечение с каждым классом сопряженных элементов группы; такие подгруппы называются сопряженно плотными (определение 2.1.1). Так, в "Коуровской тетради" записан вопрос о существовании нециклической конечно определенной группы с циклической сопряженно плотной подгруппой [16; вопрос 8.8 Ь). Как отмечает Л. Н. Шеврин [30], понятие сопряженно плотной подгруппы возникало уже на первых заседаниях семинара отдела алгебры и топологии ИММ (г. Екатеринбург). В группе GLn(K) над алгебраически замкнутым полем К примеры собственных сопряженно плотных подгрупп дают треугольная подгруппа, а также все параболические подгруппы.
Один из центральных результатов диссертации связан со следующим вопросом, записанным П. Нойманом [16, вопрос 6.38].
а) Пусть К ~ (коммутативное) поле. Найти все такие неприводимые подгруппы Н из GLn(K), что Н П С ф 0 для каждого класса сопряснсе.нных элементов группы GLn(K).
Гипотеза: Н — GLn(K), за исключением случая, когда п — char К = 2, поле К квадратично замкнуто и Н сопряжена с под-
Ь) Из справедливости этого предположения следовало бы в общем случае, чт.о произвольная подгруппа из СЬп(К), пересекающаяся с каждым классом сопряженности, является параболической. Насколько этот, факт верен для подгрупп других групп лиева типа ?
группой всех матриц

Диссертация состоит из введения и двух глав. Исследованию вопроса П. Ноймана посвящена глава 2. В §2.3 доказывается
Теорема 2.1.1. Пусть К — локально-конечное поле. Если собственная неприводимая подгруппа группы СЬ2(К) имеет непустое пересечение с каждым классом сопряженных элементов группы СЬ^К), то она сопряжена с подгруппой всех мономиальных матриц из СЬ^К) и К — квадратично замкнутое поле характеристики 2.
Тем самым, подтверждается гипотеза П. Ноймана для группы СЬч{К) над локально конечным полем К. В замечании 2.3.1 отмечается (без доказательства) справедливость гипотезы П. Ноймана для группы СЬп(К) над локально конечным полем К также при п = 3. Теорема 2.1.1 опубликована в совместной работе автора и В. М. Левчука [36].
Исследованию вопроса 6.38 Ь) и сопряженно плотных подгрупп групп лиева типа посвящены §§2.4-2.5. Пусть Ф — система корней евклидова пространства, [2; 2.1]. К группам лиева типа относятся группы Шевалле О(К) нормального или скрученного типа Сг(= Ф или ,1Ф) над ассоциативно-коммутативным кольцом К с единицей, [2; 4.4], [29; §3], [7]. Основным результатом главы является следующая теорема, анонсированная в [39].
Теорема 2.1.2. Пусть О(К) — группа Шевалле лиева ранга 1 над локально конечным полем К и Н ее сопряженно плотная подгруппа. Тогда либо Н — параболическая подгруппа, либо С?(ЛТ) типа А, К — квадратично замкнутое поле характеристики 2 и Н сопряжена с мономиальной подгруппой.
С полными доказательствами теорема 2.1.2 опубликована в [38] — для групп Шевалле типа А и [37] — для групп Сузуки (тип 2В2). Для оставшихся типов М2 и ^2 см. совместную работу [41].
Доказательству теорем 2.1,1 и 2.1.2 посвящены §§2.2-2.5. В §2.2 отмечаются общие свойства сопряженно плотных подгрупп произвольной группы. В частности, по лемме 2.2.3, конечная группа не имеет собственных сопряженно плотных подгрупп; это утверждение известно, как "лемма Мазурова". В §2.4 для групп Шевалле лиева ранга 1 над произвольным полем, с использованием их дважды транзитивного подстановочного представления и разложения Брюа,

Напомним, что матрицы вида ^ ^ (a, b G К*) назы-
ваются мономиальными. Следующая теорема подтверждает гипотезу П. Ноймана для группы GL2(K) над локально конечным полем К.
Теорема 2.1.1. Пусть К — локально-конечное поле. Если собственная неприводимая подгруппа группы GL^K) имеет непустое пересечение с каждым классом сопряженных элементов группы GL‘2{K), то она сопряжена с подгруппой всех мономиальных матриц из GL2{K) и К — квадратично замкнутое поле характеристики 2.
Теорема 2.1.1 опубликована в совместной работе автора и В. М. Левчука [36]. В связи с вопросом П. Ноймана нам потребуется понятие сопряженно плотной подгруппы, отмечавшееся в [36; §1] (термин предложил В. М. Левчук).
Определение 2.1.1. Подгруппа группы G называется сопряженно плотной, если она имеет непустое пересечение с каждым классом сопряженных элементов группы G.
Сопряженно плотные подгруппы возникают в том или ином виде в различных задачах теории групп довольно давно. Это отмечалось, например, в докладе Л. Н. Шеврина на международном семинаре по теории групп (Екатеринбург, 2001), [30], см. также [16; вопрос 8.8 Ь).
В группе GLn(K) над алгебраически замкнутым полем примеры собственных сопряженно плотных подгрупп дают треугольная подгруппа, а также все параболические подгруппы.
С учетом определения 2.1.1, приведенный выше вопрос 6.38 Ь) П. Ноймана можно переформулировать следующим образом.
(Ъ ) Верно ли, что всякая сопряженно плотная подгруппа группы лиева типа над полем К в общем случае, например, когда char К ф 2, является параболической?
Частичное решение вопроса 6.38 Ь) дает следующая теорема, описывающая сопряженно плотные подгруппы локально конечных групп лиева типа ранга 1.
Теорема 2.1.2. Пусть G(K) — группа Шевалле лиева ранга 1 над локально конечным полем К и Н ее сопряженно плотная под-