Вложения конечных групп в периодические группы

• Автор: Лыткина, Дарья Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 118 с.

Содержание
Введение

Глава 1. Предварительные результаты

§ 1.1. Группы, содержащие сильно вложенную подгруппу

1.1.1. Доказательство теоремы 1.1.

1.1.2. Доказательство теоремы 1.1.

§ 1.2. Периодические группы, порождённые парой почти квадратичных автоморфизмов абелевой группы

1.2.1. Квадратичные автоморфизмы

1.2.2. Почти квадратичные автоморфизмы

Глава 2. Периодические группы, действующие свободно на абелевой группе

§2.1. Предварительные сведения
§ 2.2. Доказательство теоремы 2.0.
§ 2.3. Доказательство теоремы 2.0.
Глава 3. Вложения конечных групп в 2-группы
§3.1. Предварительные леммы
§ 3.2. Доказательство основных результатов
§ 3.3. 2-Группы
Глава 4. Группы, насыщенные прямыми произведениями
§ 4.1. Предварительные результаты
§ 4.2. Сопряжённость силовских 2-подгрупп
§ 4.3. Коммутативность силовских 2-подгрупп
§4.4. Группы, содержащие А
§4.5. Группы типа А(Р)
Глава 5. Группы, насыщенные простыми С-группами
§5.1. Некоторые свойства групп из £
§ 5.2. Строение нормализатора силовской 2-подгруппы
§ 5.3. Строение подгруппы В
§5.4. Группы с 2-замкнутыми централизаторами инволюций. . 107 § 5.5. Группы с сильно вложенной 2-локальной подгруппой
Библиография
Введение
Теория абстрактных групп, т. е. групп, не наделённых изначально никакой дополнительной (геометрической, топологической, физической) структурой, зародившаяся на рубеже 19-го и 20-го веков, первое время развивалась как теория конечных групп. Усилиями нескольких математиков, среди которых, несомненно, нужно выделить В. Бернсайда и Г. Фробениуса, были получены основополагающие результаты теории конечных групп.
Вклад Бернсайда в развитие теории групп составляют не только его выдающиеся результаты, положившие начало локальному анализу конечных групп, и его замечательная книга [9], в которой подведён итог первоначального развития теории конечных групп, но и его знаменитые проблемы, во многом определившие развитие теории периодических групп. В одной из них речь шла о гипотезе, согласно которой порядок любой конечной простой неабелевой группы чётен или, другими словами, любая конечная группа нечётного порядка разрешима, в другой задавался вопрос о локальной конечности периодической группы С, порядки элементов которой ограничены некоторым числом. Для групп, период п которых не превосходит 3, положительный ответ был известен самому Бернсайду. В случае п = 2 группа б абелева. При п = 3 в 1928 году Б. Л. Ван-дер-Варден и Ф.Леви |20] показали, что в трёхступенно нильпотентна. В 1942 году появилась знаменитая работа И.Н. Санова [64], в которой доказывалась локальная конечность групп б в случае п = 4.
Глубокая работа Ф. Холла и Г. Хигмана [15] стимулировала появление доказательства локальной конечности групп периода 6 [14], но наибольшее влияние она оказала на решение другой проблемы Бернсайда: идеи этой работы наряду с глубокими теоретико-характерными методами, связанными с конечными группами, близкими к группам Фробениуса, привели У. Фейта и Дж. Томпсона [11] к доказательству разрешимости конечных групп нечётного порядка. Работа Томпсона и Фейта и последующие работы Томпсона о группах с разрешимыми локальными подгруппами дали старт бурному развитию теории конечных групп, которое привело к классификации конечных простых групп (см. [3-6,13]).
Между тем надежда на положительность решения проблемы Бернсайда для любого конечного периода была развеяна сенсационной работой П. С. Новикова и С. И. Адяна [55-57], в которой содержалось доказательство бесконечности свободной бернсайдовой группы В(г,п) периода п с г порождающими при г ^ 2и достаточно большом п. Эта работа

предопределила появление неожиданных примеров групп С. И. Адяна,
A. Ю. Ольшанского, Р. И. Григорчука и их учеников (см. [30,32,33,38,39, 58-61], показавших, что локально конечные группы составляют лишь малую часть класса периодических групп.
Все эти исследования ясно показали, что прогресс в «положительном» направлении изучения периодических групп возможен в первую очередь при условии существования в этих группах элементов небольших простых порядков, в частности, порядков 2 и 3 (отметим, что вопрос о локальной конечности групп периода 5 до сих пор открыт). Надежда на такой прогресс подкреплялась и мощными методами в исследовании конечных неразрешимых групп, связанными, как правило, с существованием в конечных простых группах подгрупп чётного порядка.
Некоторые приёмы техники работы с элементами порядка 2 (инволюциями) в конечных группах, в первую очередь, идеи работы Р. Брауэра и П. Фаулера [8], в которой доказывалась конечность числа конечных простых групп с заданным централизатором инволюции, были развиты и адаптированы к бесконечным группам с инволюциями в ряде работ
B.П.Шункова и его учеников. Отметим прежде всего одну из первых работ Шункова в этом направлении [78] и его классическую теорему о локальной конечности периодической группы с конечным централизатором инволюции [79]. Позднее более короткое доказательство усиленного варианта этой теоремы получил В. В. Беляев [35], а совсем недавно А. И. Созутов доказал её широкое обобщение на основе понятия почти совершенной инволюции [67]. Современное состояние соответствующей теории изложено в серии монографий Шункова [81-83] (см. также библиографию в этих книгах). В последнее время ряд глубоких результатов в отмеченном направлении был получен также А. И. Созутовым,
Н. М. Сучковым, А. К. Шлёпкиным и другими представителями красноярской алгебраической школы. К этому направлению относится и настоящая диссертация.
Одной из основных характеристик периодической группы является её спектр, т. е. множество порядков её элементов. Не менее важна информация о конечных подгруппах. Настоящая работа посвящена исследованию групп с заданным спектром или с заданным набором конечных подгрупп. При этом методы локального анализа конечных групп приспосабливаются для целей исследования строения периодических групп. Кроме того, используются машинные вычисления для установления конечности некоторых конечно определённых групп.
Результаты диссертации докладывались на конференции “Мальцев-скис чтения” (2008-2011), на международных алгебраических конференциях в Москве (2008), Нальчике (2009-2010), Санкт-Петербурге (2010), Малайзии (2011), Турции (2011), Екатеринбурге (2011) и Казани (2011),

§ 2.3. Доказательство теоремы 2.0.
Для доказательства теоремы 2.0.1 нам необходимы следующие три утверждения.
Лемма 2.3.1. Пусть (7 — периодическая группа, действующая свободно на нетривиальной абелевой группе А.
(1) Если (7 содержит инволюцию, то эта инволюция единственная. В частности, если С — 2-группа, то справедливо одно из следующих утверждений:
(а) С конечная циклическая;
(б) С — конечная обобщённая группа кватернионов;
(с) С изоморфна С или С?.
(2) Если С порождается элементами порядка 3, то С конечна. Более того, С либо циклическая, либо изоморфна йЛДЗ), либо изоморфна БЕ2{ 5).
(3) Если С содержит нормальную подгруппу Н порядка 3, то Н — единственная подгруппа порядка 3 в (7.
Доказательство. (1) Пусть 1 — инволюция в С, а е А. Тогда
(аа1)1 = а*а‘2 = а1 а = аа1,
и следовательно ааь = 1, а1 = а-1. Таким образом, действие 1 определено единственным образом, в частности, I — единственная инволюция в б. Пусть б — 2-группа. Если (7 конечна, то б циклическая или обобщённая кватернионная. Если С бесконечна, то С изоморфна С или <3 в силу леммы 4.
(2) Доказано в [43].
(3) Если К — подгруппа порядка 3 в й, то НК — конечная 3-подгруппа из С. Поскольку НК действует свободно на А, то она является циклической и Н = К. Лемма доказана.
Предположим теперь, что (7 — бесконечная группа, удовлетворяющая условиям теоремы 2.0.1.
Если в не содержит элементов порядка 3, то заключение теоремы 2.0.1 выполняется в силу 2.3.1(1). Если (7 содержит элемент порядка 3, то по лемме 2.3.1(2) подгруппа Со из й, порождённая всеми элементами порядка 3, конечна.
Пусть Р0 — силовская 3-подгруппа группы Со-