Симметричные дистанционно регулярные графы и их автоморфизмы

• Автор: Циовкина, Людмила Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 80 с.

Содержание
Введение
1 Определения, обозначения и вспомогательные результаты
1.1 Метод Хигмена и вспомогательные результаты
1.2 Вспомогательные результаты для случая антиподальных дистанционно регулярных графов диаметра
2 Об автоморфизмах дистанционно регулярных локально циклических графов
2.1 Об автоморфизмах дистанционно регулярного графа
с массивом пересечений {42,39,1; 1,3,42}
2.1.1 Вспомогательные результаты
2.1.2 Автоморфизмы графа с массивом пересечений
{42,39,1; 1,3,42}
2.1.3 Граф с массивом пересечений {42,39,1; 1,3,42}
не является реберно симметричным
2.2 Об автоморфизмах дистанционно регулярного графа
с массивом пересечений {35,32,8; 1,2, 28}
2.2.1 Вспомогательные результаты
2.2.2 Автоморфизмы графа с массивом пересечений
{35,32,8; 1,2,28}
2.2.3 Граф с массивом пересечений {35,32,8; 1,2,28}
не является реберно симметричным
2.3 Об автоморфизмах дистанционно регулярного графа
с массивом пересечений {35,32,1; 1,2,35}
2.3.1 Вспомогательные результаты
2.3.2 Автоморфизмы графа с массивом пересечений
{35,32,1; 1,2,35}

2.3.3 Граф с массивом пересечений {35,32,1; 1,2,35}
не является реберно симметричным
З Реберно симметричные дистанционно регулярные
накрытия клик сЛ = /і
3.1 Автоморфизмы графа с массивом пересечений
{гд + 1, (г - 1)д, 1; 1, д, гд + 1}
3.2 Случай точного действия АиІ;(Г) : II
3.3 Случай неточного действия Аи1(Т) : Е
Список литературы

Введение
Одной из центральных проблем в теории конечных групп является поиск единого представления конечных простых групп. В связи с этим, приобрела актуальность задача классификации дистанционно регулярных графов на основе свойств транзитивности их групп автоморфизмов, которой и посвящена настоящая диссертационная работа. В работе исследуются дистанционно регулярные графы диаметра 3 с некоторыми условиями их комбинаторной и групповой симметричности, и их автоморфизмы.
Класс К, графов (под графом здесь и далее будем понимать неориентированный граф без петель и кратных ребер) назовем универсальным, если каждая конечная группа представима группой автоморфизмов некоторого конечного графа из К.. Известный результат Р. Фрухта [14] послужил выделению ряда универсальных подклассов графов, в числе которых оказались следующие: регулярные графы степени к для произвольного фиксированного к > 2, двудольные графы, гамильтоновы графы, -хроматические графы для £ > 1, сильно регулярные графы (регулярные графы, у которых число вершин в пересечении окрестностей любой пары различных вершин зависит только от того, смежны эти вершины или нет)([23],[20]). В [9] Ф. Бюкенхаутом была предложена идея построения единой геометрической теории, согласно которой каждая конечная простая группа была бы представима группой автоморфизмов некоторой геометрической структуры из определенного, поддающегося описанию, класса конечных геометрий. Отметим, что спорадические простые группы Фишера, Судзуки, Маклафли-

Доказательство. Пусть р > 13. Тогда |12| = 14г, где г — число анти-подальных классов, попадающих в 12, 12 — регулярный граф степени г — 1 и р делит 43 — г. Число ребер между 12 и Г — 12 не меньше 14г(43 — г), но не больше 2(602 — 14г), поэтому 7г2 — 315г + 602 > 0. Отсюда г равно 1, 2 или 43, причем в последнем случае получим Г С О, противоречие. Если г — 1, то р = 2,3 или 7 — противоречие. Если г = 2, то р = 41, противоречие с тем, что Л = 2.
Пусть р = 13. Тогда |12| сравнимо с 4 по модулю 13. Заметим, что любой антинодальный класс пересекает 12 по 0, 1 или 14 вершинам.
Пусть Г содержит 2 антииодальных классов, пересекающих 12 по в вершинам. Тогда |12| = вЬ, аз(д) = (14 — з)2, аДр) + а2(д) = 602 — 142 и Х1Ы = (7з2 + 0Д5) — 62 — 43)/13. По лемме 2 число 301 — хЛэ) делится на 13, поэтому оДд) = 62 — 7в2 + 45 + 169/.
Пусть я = 14. Поскольку для любой вершины и € Г — 12 подграф [гг] содержит не более одной вершины из 12, то |Г — 12| > 13|12|, |12| < 43 и 2 £ {1,2,3}. Противоречие с тем, что |12| = 4(тос1 13).
Пусть 5 = 1. Тогда 12 является 2-кликой. Так как порядок клики в Г не больше 6, то |12| = 4, о3(р) = 52, оДр) = 169/ + 41 и / € {0,1,2}.
Лемма 10. Выполняются следующие утверждения:
(1) Р Ф и,5;
(2) если р = 7, то 12 лежит в антиподальном классе Г и либо (/) |12| =7 и аДр) = 91/ и 0:3(5)
(гг) |12| = 14, 01(5) = 91/ + 49 и 03(5) = 0.