Свойства отношения сопряжения в алгебрах инцидентности

• Автор: Маренич, Валентина Евгеньевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 102 с. : ил.

§1 Частично упорядоченные множества
п.1. Предварительные сведения о частично упорядоченных множествах
п.2. Классические частично упорядоченные множества
п.З. Выпуклая вложимость частично упорядоченных множеств
п.4. Частично упорядоченные множества, интервалы которых
согласованы с ранговой функцией
п.5. Частично упорядоченные множества частичных порядков длины <1
§2 Дизъюнктные суммы функций инцидентности
п.1. Предварительные сведения об алгебрах инцидентности
п.2. Дизъюнктные суммы
п.З. Сопряжённость дизъюнктных сумм
п.4. Функции инцидентности, значения которых согласованы
с ранговой функцией
§3 Основные свойства сопряжения в алгебрах инцидентности
п.1. Сопряжённость функций инцидентности дизъюнктной сумме
п.2. Невозможность сведения функций инцидентности подобием
к функциям, у которых вне главной диагонали расположены 0 и
п.З. Функция Се + С,<ф как аналог жордановой клетки
§4 Функции инцидентности, сопряжённые с диагональными
п.1. Диагонализируемые функции инцидентности
п.2. Условие коммутируемости диагонализируемых
функций инцидентности
п.З. Одновременно диагонализируемое семейство функций
§5 Функции инцидентности, сопряжённые с Се +
п.1. Основная теорема
п.2. Отношение сопряжения в алгебре lncF (Р, <), где (Р, <) - локально конечное частично упорядоченное множество, все интервалы
которого - цепи I
п.З Отношение сопряжения в алгебре IncF(P,<), где (,Р,<) - локально
конечное ЧУМ, все интервалы которого - цепи, II
п.4. Отношение сопряжения в алгебре 1пср{Р,<),
где (Р,<) - линейно упорядоченное множество
п.5. Произведение частично упорядоченного множества длины 1 на частично упорядоченное множество, все интервалы которого согласованы с ранговой функцией
§6 Частично упорядоченные множества (Р, <),для которых £ ~ С,к.
в алгебре 1пср(Р,<)
п.1. Дзета — свойство частично упорядоченного множества
п.2. Построение частично упорядоченных множеств, обладающих
дзета - свойством
п.З. Ранги комбинаторных матриц
п.4. Частично упорядоченное множество подмножеств, мощности
которых кратны числу т
§7 Матричная интерпретация
Список литературы
Основные обозначения

Пусть (Р, <) - локально конечное частично упорядоченное множество (ЧУМ). Алгебра инцидентности локально конечного частично упорядоченного множества (Р,<) над полем F, обозначается 1пср{Р,<), была введена в рассмотрение в середине 60-х годов прошлого века как естественный инструмент комбинаторного анализа. Это направление исследований было начато циклом работ Дж.-К. Рота и его школы под общим названием «Основы комбинаторной теории»: Рота [1964]; Рота, Муллин [1970]; Голдман, Рота [1970]; Дубиле, Рота, Стенли [1972]; Дубиле [1972]; Рота, Каханер и Одлизко [1975]. На русском языке была также опубликована работа Барнабеи М., Брини А., Рота Дж.-К. [1986], примыкающая к этой серии.
Позднее было замечено, что алгебра инцидентности сама является интересным объектом для изучения. Начало исследований алгебраических свойств алгебр инцидентности было положено работами Дубиле, Рота и Стенли [1972]; Баклавского [1972]; Фаркаса [1974]; Лерукса и Сараилле [1981]. Эти работы вызвали большой интерес и повлекли за собой многочисленные исследования в этой области. Алгебры инцидентности изучались Начевым [1972], [1981,1], [1981,11] и Шматковым [1991], [1994, I], [1994, II]. В работах Начева проводились исследования полиномиальных тождеств, глобальной размерности и других вопросов, которые были продолжены многими авторами, например, Шпигелем [2001]. В работах Шматко-ва изучались изоморфизмы алгебр инцидентности, свойства алгебр бинарных функций и изоморфизмы алгебр бинарных функций.
В последнее время появилось много работ, посвящённых изучению алгебраических свойств алгебр инцидентности IncF(P,<) локально конечного частично упорядоченного множества (jР,<). Например в книге Шпигеля и О’Доннела [1997] подробно рассмотрены функции Мёбиуса, редуцированные алгебры, радикалы, максимальные идеалы, минимальные простые идеалы, дифференцирования и изоморфизмы, а также кольцевые свойства алгебр инцидентности.
На алгебры инцидентности можно смотреть как на обобщение полных матричных алгебр и, поэтому, естественно переносить свойства матриц на функции инцидентности. Например, в книге Р. Стенли [1986, рус. перевод, с.235] поставлен вопрос: «Есть ли разумный критерий для определения того, когда два элемента алгебры инцидентности сопряжены, (по аналогии с теорией канонической формы Жордана)?».
Ответ на вопрос Стенли в настоящее время не известен и, по-видимому, для каждого частичного порядка может быть свой ответ. Например, алгебра верхних треугольных матриц над полем может рассматриваться как простейшая алгебра инцидентности конечного линейно упорядоченного множества. Уже для этой алгебры, критерии сопряжённости (аналогичные теории жордановой формы), поп.2. Невозможность сведения функций инцидентности подобием к функциям, у которых вне главной диагонали расположены 0 или
Любая функция из алгебры инцидентности конечного множества задаётся матрицей. Поэтому естественно возникает вопрос: существует ли аналог жордановой формы матрицы для произвольной функции инцидентности? Таким аналогом естественно считать некоторую функцию инцидентности, у которой вне главной диагонали расположены только нули и единицы. Из леммы 1 следует, что ответ на поставленный вопрос отрицательный. Действительно, если поле F Ф G F (2) и не все интервалы ЧУМ (Р,<) являются цепями, то существуют функции инцидентности, которые нельзя подобием преобразовать к функциям, имеющим вне главной диагонали только нули и единицы.
Функции fug назовём совместимыми на рёбрах покрытия частично упорядоченного множества (Р,<), если существует функция х е incF(P,<), такая, что
x~l * f * х (a,b) = g(a,b) для всexa<-b. (1)
Равенства (1) равносильны равенствам
х (a, a)g(a, b) - f (а, b)x{b, Ь) = 0 для вс ех а <■ Ъ. (2)
Действительно, по формуле (2.1.8) получаем
g(a,b) = ^Ц(/(а,а)-/(Ь,Ь)) + фЦ/(а,Ь) = ^f(a,b)
х(а, а) х(а, а) х(а, а)
для всех а <-Ь.
Докажем основной результат этого пункта.
Лемма 1. Пусть F Ф GF(2) и не все интервалы ЧУМ (Р,<) являются цепями. Тогда существуют функции / е тср{Р, <), которые нельзя подобием преобразовать к функциям, имеющим вне главной диагонали только нули и единицы.
Доказательство. Пусть функция / е incF(P,<) обладает свойствами:
1) f(a, а) = С = const для всех а е Р 2) f(a,b) Ф 0 для всех а <-Ь. Предположим, что / ~ g и все значения функции g вне главной диагонали равны О или 1. Тогда, согласно п.1,
f(a,b) , если а
g(a,b)-' 1 ,еслиа<-£
О ,иначе
Докажем, что произведения f(a0,al)f(al,a2)...f(an_l,an) равны для всех (а,Ъ,<-)-цепей (а0,а1 ап_1,ап). Действительно, существует обратимая функция х е incp(P,<) такая, что g = а“' * f * х. Так как для всех а<-Ь, согласно формуле (2), выполнено