Коммутативные подалгебры квантовых алгебр

• Автор: Зеленова, Софья Анатольевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 84 с.

Содержание
Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Алгебры квантовых многочленов

1.2..................................Матричные алгебры

1.3 Квантовые координатные кольца для полупро-

стых алгебраических групп

1.4 Квантовые алгебры Вейля

2 Теорема об алгебраической зависимости

2.1 Вспомогательные определения и утверждения .

2.2 Примеры
2.2.1 Алгебры квантовых многочленов
2.2.2 Алгебры, обладающие фильтрацией по полугруппе Кд
2.3 Теорема об алгебраической зависимости
2.4 Основные следствия
3 Следствия и примеры
3.1 Коммутативные подалгебры алгебры квантовых
многочленов
3.1.1 Степень трансцендентности алгебры квантовых многочленов
3.1.2 Мономиальные подалгебры и центр
3.1.3 Однопараметрический случай
3.2 Оценки степени трансцендентности других квантовых алгебр
3.2.1 Матричные алгебры . . .■
3.2.2 Квантовые алгебры Вейля

3.2.3 Квантовые координатные кольца полуп-
ростых алгебраических групп
3.3 Связь с размерностью Крулля
3.4 Пример коммутативной подалгебры
Указатель терминов и обозначений
Список литературы

Введение
Квантовые алгебры - это неформальное название различных алгебр, возникающих в теории квантовых групп.
Понятие квантовой группы появилось в конце 1980-х годов в связи с решением квантового уравнения Янга-Бакстера, являющегося ключевым моментом в “квантовом методе обратной задачи” развитом Л. Д. Фаддеевым и ленинградской школой математической физики с целью решения “интегрируемых квантовых систем” (см. [29]).
Отправной точкой развития теории квантовых групп, объединившей первые разрозненные результаты и примеры, стала работа В. Г. Дринфельда [9], содержащая мотивировки основных понятий.
Хотя теория квантовых групп не позволила полностью решить уравнение Янга-Бакстера, многие интересные и полезные решения этого уравнения удалось построить именно с ее помощью. “Машиной” для производства таких решений стала теория представлений некоторых специфических алгебр, сходных с деформациями обертывающих алгебр полупростых алгебр Ли. Вот эти специфические алгебры и получили название “квантовых групп”.
Первый пример - деформация Ц(з1 г(С)) - возник в статье П. П. Кулиша и Н. Ю. Решетихина в 1981 году (см. [10]).
Первый пример алгебры квантовых многочленов (см. определение 1.1.1) - квантовая плоскость кч[Х, У], - был введен Ю. И. Мининым в [34]. В дальнейшем многие авторы рассматривали обобщения этой алгебры (см., например, [1, 14, 38]). Среди таких обобщений можно назвать однопараметрические и многопараметрические квантовые аффинные пространства

Рассмотрим в качестве полугруппы 5 полугруппу 5„ = Мд С ОДНИМ ИЗ Введённых В 2.1.1 ПОРЯДКОВ. ПуСТЬ Л = Д(Э,п _ алгебра, фильтрованная по такая, что
А(у|П — £<э,п,о = А>
165,,
где А - подпространство, порождённое мономом Хь. До конца этого пункта А всегда обозначает алгебру Л<з,п-
В силу свойства 4) порядка -< множество подпространств Аа, для которых с1 -< 1, конечно. Т.е. в нем существует максимальный элемент, и, следовательно, существует такой кортеж У, что Аь‘ = Отсюда
А = А,/Ау = А-
1ё5„ 1б5„
Таким образом Л^Лг — А-
Для произвольного ненулевого элемента / £ А можно единственным образом определить кортеж Ь/ такой, что / £ Л^ и
/ ^ -ДООПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2.8. Кортеж Ь; будем называть нормой элемента /. □
Для каждого факторпространства А1 фиксируем элемент ^ такой, что ^ € Ль, ^ Лц. Поскольку Л4 = А одномерно, то Д порождает Л^
УТВЕРЖДЕНИЕ 2.2.9. Множество *В = {А}че5„ является базисом алгебры А как линейного пространства.
Доказательство. Пусть / - произвольный ненулевой элемент алгебры Л с нормой Ь/ = t. В силу того, что элемент Д