О взаимных коммутантах нормальных подгрупп в группах

• Автор: Куликова, Ольга Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 93 с. : ил.

Часть 1. О взаимных коммутантах нормальных подгрупп в ® свободных группах

1. Основные определения. Связь между определениями

2. Формулировка теоремы 1.1. Следствия из теоремы 1.1

3. Доказательство теоремы 1.1

3.1. Дополнительные определения

3.2. Доказательство теоремы 1.1 по модулю предложений 1.1 и 1.2

3.3. Некоторые допустимые преобразования. Вспомогательные леммы

3.4. Доказательство предложения 1.1

3.5. Доказательство предложения 1.2

4. Некоторые примеры для случая свободной группы и следствия для

случая свободных произведений

4.1. Частный случай пересечения более, чем двух нормальных подгрупп
в свободной группе
^ 4.2. Некоторые примеры
4.3. Некоторые следствия для случая свободных произведений
Часть 2. О взаимных коммутантах нормальных подгрупп в произвольных группах
5. Определения. Связь между определениями
6. Формулировка теорем и следствий
7. Некоторые приложения
8. Доказательство теоремы 2.2
8.1. Дополнительные определения
8.2. Доказательство теоремы 2.2 по модулю предложений 2.1 и 2.2
ф 8.3. Описание допустимых преобразований. Вспомогательные леммы
8.4. Доказательство предложения 2.1
8.5. Доказательство предложения 2.2
Часть 3. Об относительно асферических копредставлениях и их центральных расширениях
9. Соотношения во взаимном коммутанте []Уд,Сг]. Строение факторгруппы С]
10. Применение
Часть 4. О конечной определенности группы Е/[М, ГЧ]
11. Формулировки результатов о группе Е/[М, 14]
® 12. Доказательства результатов для группы ИДМ, ГД

13. О конечной определенности группы N5]
Список литературы
Публикации автора по теме диссертации
Вопросы, связанные с изучением свойств групп, заданных своими копред-ставлениями, являются одними из основных в теории групп. Так, в настоящее время уделяется большое внимание исследованию зависимостей между соотношениями В копредставлении (Л|/?1,/?2), в котором множество определяющих соотношений разделено на непересекающиеся подмножества. Факторгруппа N1 П М2/[Ми N2] является естественной мерой сократимости между множествами Я и Я2, где через N1 и N2 обозначены нормальные замыкания в свободной группе с алфавитом А множеств Я и Я2, соответственно. Множества соотношений Я и Я2, для которых 2 = [N1, А^], (такие множества называются независимыми) и их свойства изучались Р.С.Линдоном в [26], М.А.Гутиеррезом и Дж.Г.Ратклиффом в [17], Дж.Хубшмаином в [21],
Н.Д.Гильбертом в [14] и др.
Мотивацией для изучения факторов пересечения нормальных подгрупп в свободных группах по модулю их коммутанта также является следующий результат Гутиерреза-Ратклиффа. Пусть связный 2-комплекс К представим как объединение двух подкомплексов К = К и К2 так, что К П К2 есть в точности 1-скслет комплекса К. Тогда имеет место следующая точная последовательность 7Г1(А)-модулей [17] (см. также статью [29]):
О -> г'ДяДАл)) ® гг(^(Аг)) —>■ гтг(К) -> ^ (1)
где г'хДг гомоморфизмы гомотопических модулей, индуцированные вложением комплексов, А) := кеДтгДТДпТГг) —> ^(Ад)}, j = 1, 2. Коядро в последовательности (1) есть в точности Я/N-1 АД модуль $%%,гюР = *1(К1ПК2). Таким образом, изучение некоторых вопросов об описании гомотопических свойств 2-комплексов через свойства собственных подкомплексов естественным образом СВОДИТСЯ К изучению модулей • Типичным применением
последовательности (1) является теоретико-групповая переформулировка гипотезы асферичности Уайтхеда, данная В.А.Богли [5].
Гипотеза асферичности Уайтхеда [39] утверждает, что любой связный подкомплекс асферичного двумерного клеточного комплекса асферичен. Этой гипотезе уделяется огромное внимание (смотри, к примеру, [8], [9], [18], [21],
[5] и ссылки, данные в этих работах).
Например, в работе М.А.Гутиерреза и Дж.Г.Ратклиффа [17] гипотеза асферичности Уайтхеда переформулирована следующим образом: если любое определяющее соотношение конредставления (А|А) является независимым, то
Доказательство следствия 1.6 будет проводится по индукции но к. Для к — 2 следствие 1.6 совпадает со следствием 1.5. Пусть к > 2 и для к — 1 следствие 1.6 верно. Тогда по утверждению 1.6 оно верно и для к
4.2. Некоторые примеры.
Пример 1. Пусть G - нециклическая свободная группа в многообразии, заданном тождеством [хт, уп] для взаимно простых натуральных чисел т и п, где п - достаточно большое нечетное число. При этом соответствующая вербальная подгруппа является взаимным коммутантом [М, N] вербальных бернсайдовых подгрупп М и N в неабелевой свободной группе F = F(21) с алфавитом 21, где М задается тождеством хт, а N - тождеством уп. Тогда центр группы G имеет бесконечный ранг, и в частности, М П N ф [М, JV] в F.
Доказательство. Имеем G = F/[М, iV].
Рассмотрим свободную бернсайдову группу B(2l, n) = F/N, определенную тождеством у11, где п выберем достаточно большим нечетным числом. Группа В(21, п) можно задать с помощью градуированного копрсдставления (21|£Н), где любое соотношение R £ 21 равно Ап, где А - период некоторого ранга i (подробности смотри, например, в §18.1 [32]).
Для любого периода A G F имеем Атп £ М П N. Поэтому [Атп, М] = 1 и [Атп, N] = 1 в группе G. Рассмотрим произвольный элемент / G F. Так как числа тип- взаимно простые, найдутся целые числа к и I такие, что тк + ni = 1. Поэтому [Атп, /] = [Атп, fmkfnI]. В силу тождества [x,yz = [х, z][x, yz свободной группы, получаем [Атп, fmkfnl] = [Атп, fnl][Arnn, fmk]fnl. Последнее выражение равно единице в группе G, так как fm £ М и fn £ N. Значит, [.Атп, /] равно единице в группе G. Следовательно, элемент Атп принадлежит центру группы G.
Докажем, что для различных периодов А^ Ац следующее равенство (An)ll...(An)lk = 1 в группе М П N/[M,N] < G возможно только при Il — ... = h = 0. Действительно, если равенство (А4)1'...(А)1* = 1 выполнено в группе М П N/[M, iV], то равенство (Afl)mll...(Afk)rnlk — 1 выполнено в группе N/[F, iV]. Так как но лемме 18.2 в [32] градуированное копредстав-ление группы В(21,п) является асферическим, то по теореме 31.1 2) в [32] получаем, что последнее равенство возможно только при ml = ... = mlk — 0. Так как т ф 0, получаем, что 1 = ... = 4 = 0.
Итак мы получили, что все периоды Атп различны, и между ними нет нетривиальных соотношений. Остается только заметить, что из теоремы 19.3 в [32] следует, что число различных периодов бесконечно, и значит, центр группы G имеет бесконечный ранг. В частности, М П N ф [М, N] в группе F, так как Атп £ М П N/[M, N] < G для любого периода А £ F