Распознавание конечных групп по спектру

• Автор: Васильев, Андрей Викторович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 110 с. : ил.

Глава 1. Структурная теорема

§ 1.1. Постановка задачи

§ 1.2. Доказательство теоремы

Глава 2. Граф простых чисел конечной простой группы

§ 2.1. Постановка задачи

§ 2.2. Обозначения и предварительные результаты

§ 2.3. Смежность нечетных простых чисел

§ 2.4. Смежность с характеристикой

§ 2.5. Смежность с числом

§ 2.6. Неплотность

§ 2.7. Приложения

Глава 3. Распознаваемость групп со связным графом простых чисел
§ 3.1. Постановка задачи
§ 3.2. Доказательство теоремы 3
§ 3.3. Вспомогательные результаты о линейных группах
§ 3.4. Доказательство теоремы 3.2. Квазираспознаваемость
§ 3.5. Окончание доказательства теоремы 3
Глава 4. Группы с малым спектром
§ 4.1. Постановка задачи
§ 4.2. Предварительные сведения
§ 4.3. Доказательство теоремы 4
§ 4.4. Доказательство теоремы 4
Глава 5. Исключительные группы лиева типа
§ 5.1. Постановка задачи
§ 5.2. Свойства групп С2(д) и ИД?)
§ 5.3. Доказательство теоремы 5
§ 5.4. Доказательство теоремы 5

Приложение
Литература

Общая характеристика работы
Постановка задачи и актуальность темы диссертации. Пусть G — конечная группа. Спектром uj(G) конечной группы G называется множество порядков ее элементов. Иными словами,
cu(G) = {п € N | 3 х 6 G : х = п}.
Группа G называется распознаваемой по спектру, если любая конечная группа Н, удовлетворяющая условию и{Н) = to(G), изоморфна группе G.
Диссертация посвящена следующей проблеме.
Основной вопрос. Какие конечные группы распознаются по спектру?
Таким образом, мы имеем дело с классической математической задачей. Дан класс объектов и некоторый естественный набор параметров, присущих каждому объекту из этого класса. Спрашивается, какие объекты данного класса характеризуются в нем этим набором параметров. Безусловно, при постановке такой задачи важен выбор набора параметров, который должен быть с одной стороны достаточным для характеризации широкого семейства объектов данного класса, а с другой — достижимым, чтобы задача его отыскания была существенно проще самой задачи характеризации.
Оказывается, что спектр конечной группы является в указанном смысле "хорошим" набором параметров для характеризации конечных простых и близких к ним групп в классе всех конечных групп. С одной стороны, многие конечные простые группы характеризуются с точностью до изоморфизма в классе конечных групп (подробнее см. ниже). С другой стороны, при абстрактном представлении конечной группы как black-box group (см. [23,24,51]), наиболее популярном сейчас среди специалистов по вычислениям в теории конечных групп, спектр — самый естественный и достижимый набор параметров. Мы не затрагиваем в диссертации связанные с этой темой вычислительные вопросы (подробности можно найти в уже упомянутых работах [24,51]), а сконцентрируемся на теоретическом аспекте проблемы.
Для того, чтобы уточнить постановку задачи, обозначим через h(G) число попарно неизоморфных конечных групп с тем же спектром, что и конечная группа G.
$ 2.6. Неплотность

По теореме Жигмонди примитивный простой делитель Г„-1(„_1) всегда существует. Таким образом, р(2, С?)
Если (д — е1)2 > п2 или (д - е1)2 = п2 = 2, то в силу предложений 2.5.1 и 2.5.2 каждый примитивный простой делитель г„-1^ несмежен с 2. Следовательно, /з(2, С) = {2,г„Г1(п)}.
Наконец, пусть (д — е1)2 = п2 > 2. В силу предложений 2.5.1 и 2.5.2 только примитивные простые делители Г„-»(п_л) и несмежны с 2. С другой стороны,
в силу предложений 2.3.1 и 2.3.2 простые числа г1/-1^п_1^ и г„-1(„) несмежны между собой. Таким образом, р(2,б?) = {2,г1/е-1(п_1),г1/Г1(п)}.
(2) б? = С„(д) или Вп(д).
Результаты таблицы прямо следуют из предложения 2.5.3.
(3) Результаты вновь являются прямым следствием предложения 2.5.4. Заметим, что равенство t(2, С) = 2 имеет место для большинства групп типа Ип над полями нечетного порядка. Исключения следующие: п нечетно и д = 5(тос1 8) для б? = Дг(д), ид = 3(тос1 8) для б? - 2Дг(д).
(4) Теперь, чтобы завершить доказательство предложения, можно воспользоваться предложением 2.5.5, а также леммой 2.2.5 для групп Сузуки и Ри и теоремой Жигмонди для остальных исключительных групп. Предложение доказано.
Рассмотрим теперь вопрос о единственности множества р(2, 67). Ситуация здесь очень похожа на ситуацию с р(р,67).
Предложение 2.6.7. Пусть б? — конечная простая группа лиева типа над полем нечетной характеристики р и порядка д. Предположим, что б? неизоморфна группам ЛДд) и 26?2(д). Пусть р(2, 6?) = {2, вх, в2 зт} — независимое множество в СК{С), содержащее 2, с наибольшим число вершин и к{ = е(а,-,д). Тогда {Дц кт} определены однозначно.
Доказательство. Это следует из результатов параграфов 2.3-2.5.
Предложение 2.6.8. Пусть б? — либо группа А{д), где д нечетно, либо группа 2б?2(32га+1), и пусть р{2, С) = {2,$2}-
1. Если б? = ЛДд), д нечетно, то с точностью до перенумерации §1 = р и е(э2,д) = 3-е(2,д).
2. Если б? = 2672(32п+1), то с точностью до перенумерации я, = т/+2(б?, п).
Числа т{(С,п) определены в лемме 2.2.5.
Доказательство. Это следует из результатов параграфов 2.3-2.5.