О продолжении по родам решений уравнения WDVV

• Автор: Шнейберг, Игорь Иосифович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 55 с.

Содержание
Введение

Глава 1. Предварительные сведения

1. Инварианты Громова-Виттена

2. Инварианты Цвибаха

3. сН-алгебры

Глава 2. Соотношение в Л<2,з

1. Соотношение Белорусского-Пандхарипанде

2. Доказательство

3. Список финальных графов

4. Результаты вычислений

Глава 3. Соотношение в М.2,ъ
1. Соотношение топологической рекурсии в роде
2. Доказательство
3. Список финальных, графов
4. Результаты вычислений
Литература
Работы автора по теме диссертации

Введение
Одно из самых важных уравнений в современной математической физике - это уравнение Виттена-Дийкграафа-Верлинде-Верлинде (VDVV) [5]. Рассмотрим формальный ряд Р, зависящий от переменных Т)
, д3Р г,- 83Р д3Р „ д3Р
V / ПНР отятЧ Ягр агр Ягр_ ~ агр агр агр7?
8ТадТъдТг ЩдТсдТа 8Та8Тс8Т{ ' Щ8ТЬ8ТЛ'
здесь и ниже подразумевается суммирование по повторяющимся индексам. Иными словами, третьи производные ряда Г1
93 Р ,Д к 8ТТ38Т1
являются структурными константами коммутативной ассоциативной алгебры. Поэтому уравнение VDVV часто называют уравнением ассоциативности.
Простейшие решения уравнения VDVV - это, например,
пп 3 гГ‘2гр ПН4 ГГГГ
Р(П) = Р(ТиТ2) = - + ±|; Р(ТъТ2) = -- + ет
где в первом случае скалярное произведение имеет вид: = 1, в двух других случаях:
г)1,2 — Щ,! = 1, г) 1,1 = ?]г,2 = 0. В целом, выписывать в явном виде отдельные решения уравнения УПУУ - задача черезвычайно сложная, см. [22], а задача классификации решений представляется и вовсе необозримой (полиномиальные решения уравнения VDVV рассмотрены в [12]). Однако, очень часто решения уравнения yDVV естественно возникают в разных областях геометрии. Например, уравнению ассоциативности удовлетворяют инварианты Громова-Виттена в роде 0 (это является неким отражением геометрии пространства модулей кривых в роде ноль, см. главу 1 и [19]. Также к уравнениям ассоциативности сводится классификация бигамильтоновых интегрируемых иерархий [6].
Часто оказывается, что решения уравнения ассоциативности появляются как часть некоторых значительно больших рядов,, которые называются их квантованием или продолжением по родам. Так, в теории Громова-Виттена можно рассматривать инварианты Громова-Виттена старших родов па малом фазовом пространстве, а также инварианты Громова-Виттена с потомками (гД-классами).
Мы изучаем решения уравнения УВУУ, приходящие из так называемых сН-алгебр. В этом подходе решения уравнения ассоциативности появляются как суммы по трехвалентным деревьям. Естественное продолжение по родам получается при рассмотрении трехвалентных графов произвольного вида. Однако, с включением в рассмотрение потомков дело обстоит несколько сложнее. А именно, один из вариантов воспринимать естественно структуру сД-алгебр кроется в теории инвариантов Цвибаха (это некоторое обобщение теории инвариантов Громова-Виттена, см. [17]). При этом подходе возникает естествен-пое определение полного потенциала. Нужно рассматривать графы с произвольными вершинами а не только трехвалентные, при этом, вершинам сопоставляются корреляторы, отвечающие пересечениям -классов на пространстве модулей кривых.

Естественная задача, при наличии двух разных теорий продолжения по родам решений уравнения ассоциативности (в нашем случае - теория Громова-Виттена и сЯ-алгебры), - каким либо образом сравнить эти две теории. Напомним, что одним из стандартных способов сравнения теорий продолжения по родам решений уравнения WDW заключается в сравнении универсальных соотношений, которым, помимо WDVV, удовлетворяют эти решения. В частности, черезвычайно важны, так называемые, тавтологоические соотношения, приходящие из топологии компактификации Делиня-Мамфорда пространства модулей кривых [2].
Случай, когда потомки в сЯ-алгебрах рассматриваются только в одной точке был изучен в [24]. Однако, долгое время полное определение потомков в сЯ-алгебрах не было нигде сформулировано, потому что не удавалось доказать единственное на настоящий момент известное тавтологическое соотношение, включающее в себя ij>-классы в двух и более точках - соотношение топологической рекурсии для 12 в .М2,2 (TRR-(2,2)) [8].
Одним из основных результатов этой работы является доказательство TRR-(2,2) для потенциала, полученного из сЯ-алгебр, в ограничении на малое фазовое пространство. Это позволяет, наконец, сформулировать определение потомков в сЯ-алгебре, что открывет превосходные возможности для дальнейших исследований
Другой важный результат, полученный в этой работе - доказательство соотношения Белорусского-Пандхарипанде в сЯ-алгебрах, тоже в ограничении на малое фазовое пространство. Соотношение Белорусского-Пандхарипанде [2] - одно из двух наиболее сложных тавтологических соотношений, известных на сегодняшний день. Так например, в теории интегрируемых иерархий [6] его пока не удалось воспроизвести. В большом классе случаев соотношение Белорусского-Пандхарипанде вместе с соотношением топологической рекурсии в Мгд и Мпп, позволяет однозначно восстановить потенциал в роде два, зная потенциал в родах 0 и 1, см. [18].
Доказательство обоих соотношений проводится по одной и той же схеме, с помощью разработанного нами метода, который, 'фактически является алгоритмом для поиска и проверки новых тавтологических соотношений. Это можно рассматривать, как некую альтернативу теории Гивенталя-Ли [9, 10, 11], поскольку, как и у них, мы можем восстанавливать информацию о геометрии пространства модулей кривых с помощью чисто алгебраических конструкций.
Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы.
В первой главе мы обсуждаем предварительные сведения и формулируем основные определения. Мы напоминаем необходимые факты об инвариантах Громова-Виттена и инвариантах Цвибаха. Также в первой главе мы приводим конструкцию потенциала с потомками, полученного из сЯ-алгебр.
Вторая глава посвящена соотношению Белорусского-Пандхарипанде. Мы объясняем, что означает соотношение Белорусского-Пандхарипанде в терминах графов. Доказываем его в простейшем случае, полагая параметры равными нулю. Затем мы объясняем, как из простейшего случая получить доказательство для потенциала с произвольными параметрами из малого фазового пространства.
В третьей главе мы доказываем соотношение топологической рекурсии для 'фг'фъ в Л1г,2 (TRR-(2, 2)). Используя представление соотношения TRR-(2,2) в терминах графов мы с помощью метода графического анализа доказываем соотношение в простейшем случае. Для соотношения TRR-(2,2), как и в случае соотношения Белорусского-Пандхарипанде, из простейшего случая следует доказательство в общем случае.
Автор выражает благодарность своим научным руководителям, кандидату физико-математических наук, доценту И. А. Чубарову и кандидату физико-математических наук С. В. Шадрину, за постоянное внимание к работе.

5х=