Алгоритмические и метрические проблемы в теории бесконечных групп

• Автор: Носков, Геннадий Андреевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Омск
• Количество страниц: 257 с.

Содержание
Введение

Глава 1. Проблема сопряженности для метабелевых групп

1.1. Тождества и многообразия

1.2. Редукция к задаче коммутативной алгебры

1.3. Конструктивная коммутативная алгебра

1.4. Эффективная нормализация

1.5. Конструктивное вложение в проективное многообразие

1.6. Целозамкнутые нетеровы кольца

1.7. Дивизориальное отображение

1.8. Соотношения в группе единиц (случай поля алгебраических чисел)

1.9. Соотношения в группе единиц (случай области над полем к)
1.10. Соотношения в группе единиц (случай произвольной алгебры над к)
1.11. Соотношения в группе единиц (случай произвольного конечно порожденного кольца)
Глава 2. Элементарные теории разрешимых групп и колец
2.1. Структуры, языки, теории
2.2. О доказательстве теоремы
2.3. Теорема конечности
2.3.1. Теория абсолютных значений
2.3.2. Нормализованные абсолютные значения глобальных полей
2.3.3. Кольца арифметического типа
2.3.4. Погружение кольца алгебраических чисел в кольцо арифметического типа
2.3.5. Теорема конечности для колец арифметического типа
2.3.6. Ограниченность множества делителей
2.3.7. Теорема конечности 4 в случае нулевой характеристики
2.3.8. Теорема конечности 4 в случае ненулевой характеристики
2.4. Необратимые элементы вида (ап — <У)„ек
2.4.1. Лемма о компактных абелевых группах
2.4.2. Доказательство теоремы 5 для колец арифметического типа
2.4.3. Аппроксимация элементов бесконечного порядка
2.4.4. Доказательство теоремы 5 в общем случае
2.5. Формульность предиката делимости
2.5.1. Редукция к проблеме обратимых элементов в последовательности вида
2.5.2. Доказательство леммы
2.6. Редукция доказательства теоремы 3 к случаю метабелевой группы специального вида
2.6.1. Сведение к случаю метабелевой группы
2.6.2. МА-свойство
2.6.3. АТ-свойство
2.7. О делимости элементов модуля и элементов кольца
2.8. Доказательство теоремы
2.8.1. Выбор специальной подгруппы Рвби элемента А є А
2.8.2. Предикат т
2.8.3. Формульность полугруппы и„>іАпМ
2.8.4. Интерпретация арифметики - окончание доказательства теоремы
2.9. Элементарная теория конечно порожденного коммутативного кольца
2.9.1. Конечность числа делителей
2.9.2. Необратимые элементы
2.9.3. А — целое замыкание кольца Ер[£] в поле К - конечном сепарабельном расширении поля ¥Р(Ь)
2.9.4. А - целостная Ер [^-алгебра, целая и сепарабельная над # ¥РЩ
2.9.5. А - целостная Ер-алгебра степени трансендентности над
2.9.6. А - целостная Ер-алгебра размерности Крулля
2.9.7. А состоит из алгебраических чисел
2.9.8. А - целостное кольцо характеристики нуль и размерности Крулля 1
2.9.9. А - произвольное бесконечное конечно порожденное коммутативное целостное кольцо
2.9.10. А - произвольное бесконечное конечно порожденное коммутативное кольцо
Глава 3. Проблема рода для метабелевых групп
3.1. Вложение Магнуса
3.2. Нормализация генетического кода группы (
3.3. Описание группы в и критерий свободы группы (
3.4. Вложение Магнуса свободной ЛдЛр-группы
3.5. Критерий свободы модуля А+т/Т
3.6 Случай 1тф Ад

1.6. Целозамкнутые нетеровы кольца
Пусть А - целозамкнутая область над к, заданная порождающими и соотношениями. Зафиксируем ненулевой необратимый элемент а кольца А. Построим примарное разложение Аа = Цх П ... П qг, где сг - примарные идеалы. Очевидно, из этого разложения можно эффективно выделить несократимое разложение. Найдем ассоциированные с простые идеалы р*. Теорема о главном идеале [20, Теорема 29] утверждает, что р; - минимальные простые идеалы, а q; их символические степени (напомним, что идеал является та-ой символической степенью простого идеала р,Я = р, если q = рпАр П А, где Ар - локализация кольца А относительно р). Рассмотрим следующий вопрос: как по примарному идеалу цг — ц эффективно определить, какой символической степенью идеала рг = р он является? Пусть п - минимальное число, для которого ч Э рп, тогда q ф> р"-1. Очевидно, п находится эффективно. Так как р является символической степенью, то с) = с]Ар П АЭ р(п). Пусть Ч Ф р^, тогда я О р(п“1) э р"-1, противоречие. Следовательно, q = р^" и символическая степень восстановлена. Пусть р - минимальный простой идеал в А. Тогда локализация Ар - нетерова целозамкнутая локальная область с единственным ненулевым простым идеалом рАр = т. Следовательно, иде-ал г = (ж), х € Ар - главный, и все ненулевые идеалы в Ар исчерпываются степенями р. Кроме того, для любого ненулевого а € Ар существует ровно одно значение к со свойством (о) = (хк). Положим ур (о) = к и продолжим г>р на поле частных К по формуле ур (аЪ-1) = г>р (а) — ур (Ь), тогда ур есть целочисленное нормирование поля К, & Ар - кольцо нормирования ур. Как эффективно найти ур (а)? Если а обратим, то, очевидно, ур (а) = 0. Пусть а ф 0 необратимый элемент из А. Рассмотрим несократимое представление Аа = р["^ П ... П р*”^. На наш вопрос отвечает следующее утверждение : ур (а) = 0, если р ф рг для всех г, и ьРг (а) = щ [19].