О показателях иррациональности некоторых чисел

• Автор: Полянский, Александр Андреевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 138 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Оценки сверху показателей иррациональности и квадратичных показателей иррациональности чисел од и Д

1.1. Основные определения

1.2. Свойства функций ^(Ь), ФФО

1.3. Леммы об арифметических свойствах значений многочлена А{х)

и его производных

1.4. Арифметические свойства £/(£). У{Ь), ¥{Ь) в некоторых точках.

1.5. Асимптотические свойства 17 (ф). А^('ф)

1.6. Асимптотики J| (7). J2(7); ^(7)

1.7. Оценки сверху показателей иррациональности

1.8. Оценки сверху квадратичных показателей иррациональности .
Глава 2. Показатель совместного приближения 1п Зиф

2.1. Выбор параметров
2.2. Ариметические свойства £/(А). У(А)
2.3. Асимптотические свойства .Л(А), Л(А)
2.4. Совместные приближения 1п 3 и щ
Глава 3. Оценки сверху квадратичных показателей иррациональности чисел од. и Рь
3.1. Основные определения
3.2. Свойства функций ф(/).Фф/)
3.3. Леммы об арифметических евойп вах значений многочлена А(х)
и его производных
3.4. Арифметические свойства £/(£). 0(£). ¥(7) в некоторых точках.

3.5. Асимптотические свойства 11{ф), ^('ф)
3.6. Асимптотики /1(7). ./2(7)5 ^3(7)
3.7. Оценки сверху квадратичных показателей иррациональности .
Литература

Введение
История вопроса
Диссертация относится к одному из ключевых направлений теории ди-офантовых приближений. В ней доказываются оценки сверху для так называемых показателей иррациональности и квадратичных показателей иррациональности некоторых трансцендентных чисел, а также оценивается показатель совместного приближения чисел 1пЗ и -Л* рациональными дробями.
Показатель иррациональности. Для каждого иррационального числа можно ввести характеристику того, насколько хорошо оно может быть приближено рациональными числами.
Показатель иррациональности числа а ^ определяется как точная верхняя, грань множества чисел х таких, что неравенство
а-Р- <«Г*

'имеет бесконечное количество решений в рациональных р/д. Обозначается показатель иррациональности через ц(а).
Следствие из теоремы Дирихле (см. [1] гл.2 §2) утверждает, что показатель иррациональности для любого иррационального числа а удовлетворяет следующему неравенству: ц(а) + 2.
Точные значения, показателей, иррациональности, для, цепных дробей. Если известно разложение числа в цепную дробь, то его показатель иррациональности можно вычислить по формуле (см. теорему 1 в [2]):
где а = [ао;01,а2,. .. ] — иррациональное число, а рп/дп — п-ая подходящая
ц(а) = 1+1:
, 1п а
= 2 + 1ш вип
дробь.

Считаем, что г < j. Тогда

Так как / делится на ригОтП])+1 ^ то ^ ;> 2р"Л То есть получаем, что степень вхождения любого простого числа р в ^[те/2]^т/(и) неотрицательна, значит, оно целое, тогда и е£[ш/2]с£т.Н^(0) € Ж. Лемма 7 доказана. □
Обозначим через
/'ч / I 1 ГСхП ^
+1 = шах < Схп + 1,
Тогда справедливо следствие.
Следствие 3 (из леммы 7). Для любого к € Ж
с1С1П+1Ак) € Z и с1сДап+.Л"(к) £ Z.
Доказательство следствия 3. Ввиду леммы 7 получаем, что
дС1П+1А!{к) = [дС1П+1Н'С1П+х{к + аЛп)^НС2П+1(к + а2п)Нс.лП+х{к + аЛп)+
+ НС1п+{к + о,п) ^сч„+1 Н'С2П+1(к + аопНСза+х(к + аз??,) +
+ НС1П+1(к + а{п)НС2П+1(к + а2п) ЫС1П+1 Н'СлП+1(к + а3пН е Z.
Аналогично, получаем ввиду леммы 7, что ^■С^С1П+1^ {к) =
1 дсДС1П+1Н'/.лП+1{к + а1п))НС2П+х(к + а2п)НСзП+1(к + а3п)+
+ НС1П+1(к + ахп) (^1сДС1п+Н"2П+(к, + а2п)^ НСяП+(к + а3п)+
+ НС1П+1(к + ап)НС211+1{к + а2п) (с?сДс,п+177^п+1(А: + арг) ) +