Порождающие групп лиева типа и связанные с ними функции

• Автор: Левчук, Денис Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 52 с.

Содержание

Введение
Глава 1. Порождающие тройки инволюций группы Р8Ьп(2 + '1ГА)
§ 1.1. Основная теорема и вспомогательные результаты
§ 1.2. Порождающие тройки инволюций
§ 1.3. Доказательство основной теоремы для случая п >
§ 1.4. Случай п
Глава 2. Функции Ф. Холла на группах лиева типа ранга
§ 2.1. Постановка задачи и основная теорема
§ 2.2. Подгруппы групп лиева типа ранга 1 и представление групп Ри
§ 2.3. Основное рекуррентное соотношение для групп Ри
§ 2.4. Вычисление чисел (И7]
Список литературы
Стандартные обозначения

Введение
Многие задачи теории групп и смежных разделов математики редуцируются к нахождению порождающих элементов, удовлетворяющих некоторым свойствам. Хорошо известно, что классические группы порождаются своими простейшими элементами: так, например, симметрические группы порождаются транспозициями, а простые классические линейные группы или более обобщенно — простые группы лиева типа — порождаются корневыми элементами; в обоих случаях мощность порождающего множества растет вместе с ростом мощности самой группы.
Группы, порожденные тремя инволюциями, две из которых перестановочны (не исключается, что какие-то из инволюций совпадают), будем называть (2х2,2)-порожденными. Ясно, что если группа допускает нетривиальный гомоморфный образ, который не является (2х2,2)-порожденной группой, то она также не будет (2x2,2)-порождена. В 1980 г. В.Д.Мазуров поставил следующий вопрос:
Какие конечные простые группы являются (2x2,2)-порожденными?
Ответ на этот вопрос известен и для основного массива конечных простых групп положителен. Однако, существуют бесконечные
серии линейных групп небольших размерностей над конечными полями которые не являются (2х2,2)-порожденными. Для знакопеременных групп и групп лиева типа над конечными полями ответ на вопрос Мазурова дал Я.Н.Нужин (позднее вопрос был решен и для оставшихся 26 спорадических групп). Он же записал в "Коуровской тетради" следующий вопрос [2, вопрос 15.67]:
Какие присоединенные группы Шевалле (нормального типа) над кольцом целых чисел Z являются (2х2,2)-порожденными?
К настоящему времени вопрос полностью решен только для групп Шевалле типа Л;, а именно, справедлив следующий результат [5, 6]: Группа РЗЬп{Ъ) (п > 2) над кольцом целых чисел Ъ тогда и только тогда является (2х 2,2)-порожденной, когда п > 5. М.К.Тамбурини и П.Цукка [16] установили (2х2,2)-порождаемость также группы ЗЬп(Ъ) при п > 14.
Как и кольцо целых чисел, кольцо целых Гауссовых чисел Ъ + гЪ, г2 = —1, является 1-порожденным, то есть порождается одним элементом, в данном случае элементом г, относительно операций сложения н умножения. Поэтому естественно рассматривать вопрос
(А) Какие группы РЗЬп(Е + iZ) над кольцом целых Гауссовых чисел являются (2 х 2,2)-порожденными ?
В этом сл,учае, также как и для кольца целых чисел ответ не является единообразным. Из [6] следует, что группы РЙХДЭ) и Р5Тз(9) не являются (2х2,2)-порожденными, поэтому в силу гомоморфизма Р31>п(Г + іК) на РЗЬп( 9) группа РЙХДЯ + г К) не является

Централизатор С(77) диагональной инволюции
77 = Н(—1) = сйад[-1,1, -1,1, -1,1, -1]
имеет вид
(7(77) =< 77 > хВ(д), Г(д) =< /?(*), тЦ)т I * € СР(0 >, причем
ад - РЯВ2(д), Х(?) п Я(д) = {ЛЦ2) I * 6 (7Я(дГ}.
Группа РЗЬ2(д) обладает циклической подгруппой Д порядка (1 + и)/й — (5 + 1)/с1 и каждая из подгрупп Н и А имеет индекс 2 в своем нормализаторе, являющемся диэдральной группой.
В группе Ри Яе(<7) мономиальная подгруппа N лежит в централизаторе диагональной инволюции 77, причем 0(77) = (77) х 1/(д), Ь(д) ~ РЗЬ2(д). Поэтому группа Ри содержит циклические холло-вы подгруппы нечетных порядков (д —1)/2 и (д+1)/4, соответственно, подгруппу Ао индекса 2 в Я и подгруппу А в Ь(д).
В группах Ри и Сузуки существуют также еамоцентрализуемые циклические холловы подгруппы А2 и Аз порядка д + 1 + /рд и д + 1 — -у/рд, соответственно. Нормализатор такой подгруппы Д есть группа Фробениуса с ядром Д и циклическим неинвариантным множителем порядка 2р. Свойства таких групп см., например, [1]. Кроме того,
1 + 1/ = 1 + д2 = |Д| |Д| для групп Сузуки,