Одноинвариантные линейные группы

• Автор: Кушпель, Надежда Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 72 с.

Глава 1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОДНОИНВАРИАНТНЫХ ГРУПП

§1. Общие свойства одноинвариантиых групп, содержащих унипотентпый элемент

§2. Конечные одноинвариантные группы

§3. Связные одноинвариантные алгебраические группы I

§4. Отображения А и Е

§5. Конечные одноинвариантные группы II

§0. Случай локально конечных одноинвариантиых групп

§7. Связные одноинвариантные алгебраические группы II

ГЛАВА 2. КОНЕЧНЫЕ ОДНОИНВАРИАНТНЫЕ ГРУППЫ ПОРЯДКА рд И ПОРЯДКА р2

§1. Классификация одноинвариантиых групп порядка рд

§2. Классификация одноинвариантиых групп

/(7—длины 1, порядка р2
Глава 3. КОНЕЧНЫЕ ОДНОИНВАРИАНТНЫЕ ГРУППЫ ПОРЯДКА /Ф
§1. Группы /с—длины 1 порядка р3
§2. О группах 1д—длины больше 1
Список Литературы

Определение 1. Пусть V линейное пространство над полем К и О < ОЬ(У), будем говорить, что Є действует на линейном пространстве V без неподвиэ/сных точек, если для любых д Є С, д ф 1, Vа = {и Є V д(у) = и} = 0.
Если К — Ш. или К — С, а группа С—конечна, то классификация таких групп это классический результат Цассенхауза-Винсепта. Такая классификация, как известно, решает проблему классификации полных связных римановых многообразий постоянной кривизны, то есть проблему Клиффорда-Клейна о сферических пространственных формах (см. [¥]). Для произвольного ноля характеристики ноль, задача классификации конечных групп, сводится, но крайней мере теоретически, к случаю К = С. Также можно описывать и конечные линейные группы, действующие без неподвижных точек и для произвольных полей, характеристика, которых не делит порядок группы, "поднимая представления в характеристику ноль".
Интерес к конечным линейным группам, действующим без неподвижных точек, вызван еще и следующим методом, используемым в теории инвариантов. Рассмотрим алгебру многочленов К[У] пространства V. Главная задача теории инвариантов описать алгебру инвариантов К[У]°. Однако описание алгебры в виде базисных инвариантных многочленов и соотношений между ними - довольно трудоемкая задача. Кроме того, даже явный вид образующих и соотношений не всегда сразу дает ответ на некоторые качественные вопросы о строении алгебры инвариантов. В последние 20-25 лет прошлого века, развилась теория, позволяющая дать оценки
"сложности"алгебры инвариантов без непосредственного вычисления образующих и соотношений (под "сложностыо"здесь мы понимаем набор численных параметров алгебры инвариантов, таких как, коразмерность, гомологическая размерность, числа Бети, дефект, глубина и так далее). Суть этого подхода, так называемого "слайс-метода", состоит в замене алгебры инвариантов всей группы на алгебру инвариантов некоторых подгрупп, у которых такие алгебры устроены не "хуже", чем вся алгебра инвариантов. Для маленьких подгрупп удается вычислить параметры алгебр инвариантов и, таким образом, оценить сложность изначальной алгебры [см. ВП]. В случае конечных групп метод состоит в следующем. Пусть (7„ = {д Є С |д(н) = п}, (7„ < (7 - стабилизатор вектора V. Оказывается, что сложность алгебры инвариантов К^у]а" не меньше сложности алгебры инвариантов К\;]с. Теперь посмотрим, что таким образом мы можем действовать (упрощать задачу) до тех нор, пока не окажется, что для всех V ф О Є V имеем Су = е, это и есть группа действующая без неподвижных точек. Однако, такая схема не всегда работает, если характеристика ноля делит порядок группы.
Пусть теперь поле К конечной характеристики р и нас интересуют конечные группы действующие без неподвижных точек на множестве Гу{0}. Если порядок группы не делится на р, то этот случай сводится к случаю нулевой характеристики и может быть получен из результатов Цаесенхауза-Винсента
Однако, если порядок группы (7 делится на р, то группа О не может действовать без неподвижных точек. Поскольку в группе Є можно рассмотреть р—подгруппу, она триангулизируется над полем
Далее, положим А — Es, D = Es, С = Т (где AX,D,C из леммы G). Теперь
( Е, | 0«Х*
АДА'1 = (Д | Ея) — — = (0exe 1 Es)
~Ti 1 E.J
и, таким образом, получаем пид (8). □
Лемма 19. Пусть в > п. Тогда существуют А Е СЬп(К), В Е СЬп+я(К) такие, что АЬВ — М и также АЬ^В-1 имеет вид (5) или
АЬ2В 1 = (0ПХ5 | Еп).
Доказательство. Как всегда можем считать, что Ь — М. Так же положим А — Еп, а У = 0,чх,,. Предположим, последние я столбцов матрицы линейно зависимы, тогда получаем вид (5), если же они линейно независимы, а это возможно лишь при 5 = п, то рассуждения аналогичные проведенным в доказательстве леммы 15, показывают, что получается вид (0„, | Е„). □
Лемма 20. Пусть в < п. Тогда найдутся А Е СЬп(К), В 6 СЬп+я(К) такие, что АЬВ — М и
l Т | Orxl | 0rxn-r
AL2B-x = — , T e Mrxr+S-X(K), (10)
fJ—rxr+s—1 | 0/i-rxl | En-r J
где п = qs + г для некоторого q Е N U {0}, 0 < г < п.
Доказательство. Если в лемме 1G мы имели вид (5), то лемма 20 выполнена при г = п. Пусть мы имели вид (G).
Если п — s < s наше утверждение следует из леммы 18 (имеем вид (7) и считаем г = s). Предположим п — s > s. Докажем наше