Подгруппы гиперболических унитарных групп

• Автор: Дыбкова, Елизавета Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 182 с.

ГЛАВА I. Форменные кольца и гиперболические унитарные группы

§ 1. Форменные кольца и тела с инволюцией

§ 2. Гиперболические унитарные группы

§ 3. Простейшие унитарные матрицы

ГЛАВА II. Сети, форменные сети и соответствующие им подгруппы

§ 1. Сети и теорема Боревича для полной линейной группы

§ 2. Сетевые подгруппы гиперболической унитарной группы

§ 3. Форменные сети и форменные сетевые подгруппы

§ 4. Подобие форменных сетей

§ 5. Образующие форменной сетевой подгруппы над телом

§ 6. Сопряженные форменные сетевые подгруппы

§ 7. Решетка Ьа1 (ио(сг, Г), Ки(сг, Г))
ГЛАВА III. Решетка наддиагональных подгрупп гиперболической
унитарной группы над телом
§ 1. Доказательство единственности
§ 2. Форменная сеть, ассоциированная с наддиагональной
подгруппой
§ 3. Надциагональные подгруппы и(2,й, Л)
§ 4. Матрица с почти нулевой строкой
§ 5. Матрица с нулевым элементом. Извлечение нескольких
трансвекций
§ 6. Основная лемма для матрицы с нулевым элементом
§ 7. Матрица с нулевым элементом. Включение в нормализатор
§ 8. Матрица с нулевой характеристической суммой
§ 9. Нулевой элемент появляется при сопряжении элементарной
диагональной матрицы
§ 10. Коммутативный случай
§ 11. Матрица с нулевым присоединенным вектором
§ 12. Матрица с нулевым минором
§ 13. Матрица с нулевым псевдоминором
§ 14. Окончание доказательства теоремы
§ 15. Исключения
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Представляемая диссертация посвящена изучению подгрупп линейных групп, объединяемых понятием гиперболической унитарной группы. Этот класс групп включает в себя в качестве частных случаев симплектические и расщепимые ортогональные и классические унитарные группы, а специфика определения рассматриваемых групп позволяет исследовать упомянутые линейные группы одновременно и вне зависимости от обратимости 2 в соответствующем кольце. Вводную часть предлагаемой работы мы начнем с описания нескольких важных направлений в изучении линейных групп, выделяя только небольшую часть из огромного потока работ по исследуемой тематике, а затем вкратце напомним историю возникновения рассматриваемых нами групп.
Различные вопросы, связанные со структурой классических групп, изучались во многих сотнях работ. Особый интерес вызывали и продолжают вызывать такие вопросы, как
• описание нормального строения,
• описание изоморфизмов и автоморфизмов,
• образующие и соотношения,
• описание различных классов подгрупп.
Значительное число работ посвящено рассмотрению различных арифметических вопросов, вычислению когомологий, геометрическим приложениям и т.д.. Не пытаясь, разумеется, охватить все аспекты исследования линейных групп, остановимся на четырех перечисленных выше проблемах.
Нормальное строение. Описание нормальных делителей, начатое для линейных групп над полями в классических работах К. Жордана, Л. Диксона, Ж. Дье-донне, обобщалось в дальнейшем на разные классы колец, в первую очередь — на локальные и арифметические. Центральный результат по описанию нормальных подгрупп полной линейной группы принадлежит X. Бассу: если число п больше 2 и стабильного ранга кольца Я, то для любой подгруппы Я группы вЦп, Л), нормализуемой элементарной группой Е{п,К), существует такой единственный идеал а кольца Я, что подгруппа Я заключена между элементарной подгруппой Е(п,Я, а), определяемой этим идеалом, и подгруппой матриц, образы которых при редукции по

модулю а содержатся в центре группы GL(n, R/a). Отметим, что описания подобного рода для различных классов подгрупп линейных групп возникают довольно часто — некоторые авторы в этой ситуации говорят о сэндвич-классификации. Для коммутативного R при п> 3 Дж. Уилсон и И. 3. Голубчик доказали, что стандартное описание нормальных подгрупп, даваемое теоремой Басса, справедливо вне зависимости от стабильного ранга кольца, а А. А. Суслин установил нормальность элементарной группы в GL(n, R). Для некоммутативной ситуации, как показал В. Н. Герасимов, подгруппа Е(и, R) может не быть нормальной даже при п > 2, а случай п = 2 вообще принципиально отличается от п > 3.
Различные вопросы, связанные с нормальным строением классических групп над кольцами и нормальностью элементарной подгруппы, рассматривались JI. Н. Васер-штейном, А. В. Михалевым, И. 3. Голубчиком, А. А. Суслиным, 3. И. Боревичем, Н. А. Вавиловым, Ли Фуанем и многими другими авторами. При этом обнаружилось, в частности, что для коммутативного кольца с необратимой 2 ситуация в симплек-тической группе существенно отличается об других случаев, в связи с чем в работах
Э. Абе, Л. Н. Васерштейна, Д. Косты и Г. Келлера были предложены различные конструкции и введена специальная терминология для описания нормальных подгрупп. Рассматриваемые в этих работах понятия (допустимые пары, квазиидеалы, радиксы) для ранга > 3 оказываются эквивалентными понятию форменного идеала кольца, введенного Э. Баком и использованного им вместе с Н. А. Вавиловым при доказательстве нормальности элементарной подгруппы в гиперболической унитарной группе над кольцом, конечно порожденным как модуль над своим центром.
Изоморфизмы и автоморфизмы. Описание изоморфизмов линейных групп было начато в классических трудах К. Жордана, Л. Диксона, О. Шрайера, Б. ван дер Вардена, Хуа Локена, И. Райнера, Ж. Дьедонне. В последние десятилетия важнейшие результаты в этом направлении были получены в работах Р. Стейнберга, О. Т. О’Миры, Р. Солацци, А. Хана и длинного ряда других авторов. Приведем некоторые результаты по изучению группы автоморфизмов, ссылаясь относительно более подробной информации на монографию А. Хана и О. Т. О’Миры [141]).
Основной вопрос, исследуемый в большинстве работ по автоморфизмам линейных групп, — это возможность описания произвольного автоморфизма как композиции стандартных, то есть индуцированных автоморфизмами кольца, над которым построена группа, контрагредиентными преобразованиями, соответствующими инволюциям основного кольца, умножений на обратимые центральные элементы и внутренних автоморфизмов. Для коммутативного кольца R при п > ЗУ. Уотерхауз показал, что все автоморфизмы группы GL(n, R) сводятся к стандартным, а
В. М. Петечук установил стандартность описания всех автоморфизмов GL(3, R), если 2 обратима в R (для коммутативного кольца с необратимой 2 имеются примеры нестандартных автоморфизмов, а в случае п = 2 дело вообще обстоит существенно сложнее). В некоммутативном R с обратимой 2 даже при п > 2 могут существовать не сводящиеся к стандартным автоморфизмы полной линейной группы, но все автоморфизмы группы E(n, R) допускают стандартное описание, как установлено в

(■RIO) [Di (в), Tjk(ß)] = Є при і ф ±j, ±к; j^k
(ДІЇ) A(0)7jj(a)A(0_1) = Ту(6а) при і ф ±j
(Д12) D^Ti^Diid-1) = Ті'-і (ваХ^вХ1^)