Парные силовские пересечения групп лиева типа

• Автор: Войтенко, Татьяна Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 56 с. : ил

Содержание
Введение

Наиболее употребительные обозначения

Глава 1. Силовские р - подгруппы групп Шевалле над кольцами р - примарной характеристики

1.1. Группы Шевалле и их основные подгруппы

1.2. Специальные представления систем корней

1.3. Определяющие соотношения подгруппы РФ(К, 7)

Глава 2. Парные силовские пересечения

2.1. Постановка задачи и основная теорема

2.2. Вспомогательные результаты

2.3. Классические типы

2.4. Типы Ег, I = 6, 7, 8
2.5. Парные унипотентные пересечения групп Шевалле малых лиевых рангов
Список литературы

Введение
В теории конечных групп одним из традиционных является следующий вопрос: что можно сказать о строении конечной группы С, если известно строение ее силовской 2 - подгруппы или задан способ ее вложения в С?? В разнообразных характеризациях существенную роль играют свойства си-ловских р - подгрупп конечных простых групп: коммутаторное строение, основные соотношения, автоморфизмы и др. Выявление таких свойств, как правило, вызывает самостоятельный интерес, например, [5], [15], [7], [9, §1], [22] и др.
К основным объектам исследования в диссертации относятся, в первую очередь, пересечения пар силовских р - подгрупп в группах лиевых типов или, другими словами, парные р - силовские пересечения. По - видимому, исследованиям конечных групп с заданными свойствами пересечений их силовских подгрупп положила начало в 1964 году работа М. Сузуки [25]. В ней дано описание конечных групп с независимыми силовскими 2 -подгруппами или Т1 - групп, то есть групп с единичными пересечениями пар силовских 2 - подгрупп. В частности, простые Т1 - группы - это группы Шевалле лиева ранга 1 над полем характеристики 2.
В середине 70-х годов была завершена классификация конечных простых групп, в которых пересечение каждой пары силовских 2 - подгрупп нормально хотя бы в одной из них. Как показали В. В. Кабанов, А. А. Махнев и А. И. Старостин (1976 г.), такие группы исчерпываются Т1 -группами и группами с абелевой силовской 2 - подгруппой. После этого естественной становилась задача об описании конечных групп, в которых пересечение Р ПС^ каждой пары Р, <5 силовских 2 - подгрупп нормально в какой - либо силовской 2 - подгруппе, не обязательно совпадающей с Р или с <3. Те же авторы записали в 1976 году в Коуровской тетради следующую задачу:

описать конечные группы,
• в которых нормализаторы всех парных 2 - силовских пересечений имеют нечетные индексы (вопрос 5.14, в));
• в которых для любых силовских 2 - подгрупп Р, пересечение РП<Э нормально в некоторой силовской 2 - подгруппе из гр (Р, С]) (вопрос 5.14, г)).
Позднее стали исследоваться также пересечения различных наборов силовских р - подгрупп и даже наборов нильпотентных холловых ж - подгрупп. Как показал В. И. Зенков, во всякой конечной группе С? наибольшая нормальная р - подгруппа Ор(С?) всегда совпадает с пересечением подходящих трех силовских р - подгрупп. Таким образом, в конечной простой группе всегда существует тройка силовских р - подгрупп с единичным пересечением, см. [4].
Вопросы 5.14, в), г) остаются открытыми до сих пор. В середине 90 - х годов В. И. Зенков высказал следующую гипотезу
Гипотеза В. И. Зенкова: все группы лиева типа характеристики 2 с указанным в 5.14, в) свойством имеют лиев ранг < 2.
В диссертации ставится целью исследование гипотезы В. И. Зенкова, и, вместе с тем, исследование аналогов вопроса 5.14, в) и г) для силовских р - подгрупп группы Шевалле над конечным полем произвольной характеристики р. Ставится также целью выявление основных соотношений в терминах элементарных элементов силовских р - подгрупп над кольцами характеристики р.
Диссертация состоит из введения и двух глав. Опишем содержание диссертации по главам.
В §1.1 выделяются основные подгруппы группы Шевалле. В §1.2 указываются представления некоторых систем корней.
К основным результатам главы 1 можно отнести теорему 1.1 об определяющих соотношениях силовских р - подгрупп групп Шевалле над кольцом Zpm, а также близких к ним подгрупп в более общих ситуациях. Определяющие соотношения классических линейных групп, групп Шевалле и их стандартных подгрупп вызывали интерес давно и изучались в различных ситуациях:
• ддя групп Шевалле над полем [18, §6], см. также [19, теорема 12.1.1];

При ш' = и имеем ш(Ф^) = Ф+(-Ф). Множество Ф состоит из корней 932,9зь 9зо и Р42- Соответствующие им корневые множители В V обозначим через VI, у2, «з '«4, а их аргументы - через а, Ъ, с и Д соответственно. Корень 5" = д32 - простой. Очевидно, V - сопряжение подгруппы X, для 5 = 521 совпадает с - сопряжением, так что и Э [«2, X»] = а_,[4К')1 откуда 6 = 0. Равенства с = <1 = 0 получаем аналогично из включений и э К Х3] для а = 5з_1 и я = рз2- Таким образом, элемент о совпадает с 2-, (а). Ясно, что корневые подгруппы Х„ для з = рз_2 и а = 54,-1 перестановочны спи, следовательно, лежат в А. Но тогда вместе с подгруппой XI для а = Ра в А лежит и сама подгруппа X.,. Если а = 53-1 или .9 = 542, то а, —д - корни типа А2 и Х3 С X по лемме 2.3.9. В остальных случаях при а 6 ЦФ+) разность а —5 не является корнем и поэтому А", = I’ С Р, что доказывает включение (2.22).
При и' ф и множества Ф и ш'(Ф^) также описаны в лемме 2.3.7. Аналогично случаю и/ = и доказывается равенство и = а-,, (а) для (единственного) простого корня д из —Ф. При 1(ш') = 1 это очевидно, а в оставшихся случаях существуют при 1(ш') = 2 корень г е — Ф такой, чтор32 — г е Ф~, а при 1(ш’) = 3 еще корень г' 6 —Ф : 92,-1 - 2т' е Ф~. Когда 1(ы’) = 2 имеем з = Р21, ф = ~{Р2Ь Рп}, И ш'(Ф+) = Ф+ {р21, р31, 521, 9зх}- Корневые подгруппы А», соответствующие корням а = 5,0 и корню а = 532, централизуются элементом V и поэтому лежат в А. Подгруппа А, в силу нормальности, содержит X, и для а = 531. Отсюда при г = ?3 _1 получаем включение
хг с х;[х,, д] с а.
С другой стороны,
А э [[А,", А,], А,] Х5 Э Аг
при г = 52,_1 и г = 520- Для корней а, равных рщ, р4_2 и рз,_2 включение Ха с А получаем по лемме 2.3.9, а в оставшихся случаях оно следует из условия а — 5 ^ Ф или из нормальности А в и. Для случаев I (и/) = 1 и 3 доказательство включения (2.22) аналогично. Это завершает доказательство теоремы 2.3 для типа А4.
Докажем теорему 2.3 для классических типов. Запишем у как произведение
П х-,(а3)