Почти изоморфные абелевы группы и аналог теоремы Кантора-Шредера-Бернштейна

• Автор: Шерстнева, Анна Игоревна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 94 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава 1. Почти изоморфизм сепарабельных р-групп
по вполне характеристическим подгруппам
1. {/-последовательности
2. Инварианты Ульма-Капланского вполне характеристических подгрупп сепарабельных р-групп
•3. Критерий задания почти изоморфизма сепарабельных
р-групп парой последовательностей
4. Существование изоморфных и неизоморфных сепарабельных р-групп, почти изоморфных относительно пар последовательностей
Глава 2. Почти изоморфизм сепарабельных р-групп
с конечными инвариантами Ульма-Капланского
5. Почти изоморфизм по вполне характеристическим подгруппам, задаваемый парой последовательностей, начинающихся с нуля
6. Поч ти изоморфизм по вполне характеристическим подгруппам, задаваемый парой последовательностей, имеющих конечное число скачков
Глава 3. Почти изоморфизм у-групп без кручения
по вполне характеристическим подгруппам
7. Критерий задания почти изоморфизма у-групп по вполне характеристическим подгруппам
парой характеристик

8. Характеристики, задающие почти изоморфизм у-групп,
и множества типов почти изоморфных у-групп
9. Характеристики, задающие почти изоморфизм х-групп,
из которого следует изоморфизм
10. Гі.-корректиьіе у-группы
11. Гі.-корректность разложимых у-групп
Глава 4. Корректность вполне разложимых групп
12. Корректность однородных вполне разложимых групп
13. Критерий корректности вполне разложимой группы
Литература
Некоторые обозначения

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. Известная теоретико-множественная теорема Кантора-Шредера-Бернштсйна явилась источником постановки аналогичных задач в различных областях математики, в том числе, и в теории абелевых групп.
Две абелевы группы, каждая из которых изоморфна подгруппе другой группы, называются почти изоморфными ([J]). Две абелевы группы называются почти изоморфными по подгруппам с некоторым свойством, если каждая из них изоморфна подгруппе другой группы, обладающей этим свойством.
Естественно возникает вопрос, будет ли из почти изоморфизма групп следовать их изоморфизм. Эта задача привлекала внимание многих алгебраистов. В одной из тестовых проблем Капланского ([К]) ставится вопрос об изоморфизме абелевых групп, почти изоморфных по прямым слагаемым. Для счетных редуцированных /•-групп эта проблема имеет положительное решение ([К]). Однако П. Кроули привел пример неизоморфных р-групп, каждая из которых изоморфна прямому слагаемому другой группы ([С'г]). Для групп без кручения примеры такого рода были построены А. Корнером и Е. Сосядой ([Cor], [S]). В [F] для класса сепарабельных групп, играющих значительную роль в теории абелевых групп, Л. Фукс ставит следующую проблему (проблема 28): будут ли изоморфны две сепарабельные группы без кручения, каждая из которых изоморфна сер-вантной подгруппе другой группы. Изучая вполне разложимые группы без кручения, составляющие важный подкласс сепарабельных групп без кручения, де Гроот установил, что вполне разложимые группы без кручения. почти изоморфные по сервантныы подгруппам, являются изоморф-

Покажем, что группы G и & не изоморфны. Из (4.4) имеем 7g'(0) = fe(Po) + ■ ■ • + feyPl — !)■ Так как последовательности а и р начинаются с положительного числа, то 0 < /?о < Ра0 и 0 < /ф — 1 < /3О0. Следовательно, /0(г) = 72 для всех /30 < і < pi - 1. откуда fG,(0) = y2. Но fa(0) = 7ь т. е. группы G и G" не изоморфны.
2) Пусть До ф 0, во = 0, в р имеется хотя бы один скачок. Обозначим через к наименьшее число такое, что в рц имеется скачок. Определим последовательность целых неотрицательных чисел г о, гь г2, ... индуктивно следующим образом: го = А, = Раго, и если г„ определено, то г„+і = ратп.
Положим для всех г Є Za fa(n) = 7ь Если і > к и і ф гп для всех п Є Za, то положим / Так как все инварианты Ульма-Капланского групп G и G' отличны от нуля, то о и р являются [^-последовательностями для групп G' и G соответственно. По теореме 2.4 инварианты Ульма-Капланского G'{а) и G(P) удовлетворяют равенствам (4.1) и (4.2) соответственно. Тогда из равенств (4.1) - (4.4) следует, что G = G'(a) и G1 = G(P).
Покажем, что группы G и G' не изоморфны. Из (4.4) имеем fc,'(k) =
fo(M + ■ ■ ■ + faiPm ~ !)• Так как <** > т0 А < Pm и Pm ■ 1 < - А- Так
как в pk имеется скачок, то&<Ди& = £; + 1 — 1 < ft.+1 — 1. Следовательно,