Отображение барта пространства модулей стабильных векторных расслоений ранга два на проективной плоскости

• Автор: Матыцина, Татьяна Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Ярославль
• Количество страниц: 75 с.

Глава 1. Отображение Барта пространства модулей МР2(-1,з)

СТАБИЛЬНЫХ ВЕКТОРНЫХ РАССЛОЕНИЙ РАНГА ДВА НА ПРОЕКТИВНОЙ ПЛОСКОСТИ Р2

1.1. Отображение Барта

1.2. Описание слоев отображения
Глава 2. Отображение Барта цп пространства модулей МР2(-1,п) СТАБИЛЬНЫХ ВЕКТОРНЫХ РАССЛОЕНИЙ РАНГА 2 НА Р2

2.1. Предварительные сведения и обозначения

2.2. Схема доказательства основного результата

2.3. Конструкция специальной поверхности 5 в компактификации МРг(—1,п) пространства МР2(-1,п)

Глава 3. Доказательство инъективности в общей точке отображения Барта уп

3.1. Расслоения Хюльсбергена

3.2. Кривые Хюльсбергена. Доказательство теоремы 2.1

Литература

Актуальность темы. Цели работы.
Пространства модулей, т.е. классов изоморфизма алгебраических векторных расслоений ранга 2 на проективной плоскости Р2 и их компактификации являются объектом пристального внимания алгебраических геометров в течение последних трех десятилетий, начиная со знаменитых работ В.Барта [2], [3] и последующих статей Ж.Ле Потье [11], К.Хулека [7], М.Маруямы [18], [19], Г.Эллингсруда и С.Стрёмме [5] и целого ряда других авторов вплоть до настоящего времени. Это обусловлено с одной стороны богатой геометрией самих этих многообразий, обозначаемых ниже через М^{с,п) (где с — О или —1 - первый класс Чжэня, ап>2 - второй класс Чжэня расслоения), а с другой стороны многочисленными приложениями этих многообразий в других вопросах алгебраической геометрии и смежных областях. В частности, при вычислении коэффициентов полиномов Дональдсона проективной плоскости Р2, являющимися универсальными константами гладкой структуры на Р2, возникает вопрос об инъективности отображения Барта <дп многообразия Мрг(0, п) (случай с = 0) в пространство рп(п+3)/2 плоских кривых степени п, сопоставляющего классу [Е] изоморфизма расслоения Е кривую прямых подскока С(Е) расслоения Е, т.е. прямых, ограничение на которые расслоения Е нетривиально. Гипотезе об инъективности в общей точке отображения <рп при п > 4, возникшей в конце 80-ых гг., посвящена серия работ Ле Потье [12], [13], [14]. В 1999 г. А.С.Тихомиров в препринте [22] предложил индукционную процедуру для доказательства этой гипотезы. Окончательное доказательство гипотезы об инъективности в общей точке отображения <рп было дано в 2001 г. в статье Ле Потье и Тихомирова [17].
В 2002 г. А.С.Тихомиров сформулировал аналог предыдущей гипотезы для случая с = -1. В этом случае, как следует из работы К.Хулека [7], аналогом кривой прямых подскока расслоения Е является кривая С(Е) в Р2 двойных прямых подскока расслоения Е здесь под двойной прямой I на Р2 понимается схема № с двойной структурой на /, т.е. подсхема в Р2 , задаваемая пучком идеалов := 2^р2; соответственно, схема № называется двойной

прямой подскока расслоения Е, если h°(E№) ф 0. Как показал К.Хулек в [7], кривая С{Е) имеет степень 2п — 2, так что мы получаем отображение рп : [2?] н- С(Е) многообразия МрЦ—1,п) в пространство p(n-1)(2n+1) плоских кривых степени 2п — 2 в Р2. Это отображение, называемое по аналогии со случаем с = 0 отображением Барта, продолжается до морфизма <р„ : Mfi{—1,гг) —» P(n~1)(2n+1), где Мрг(—1,п) - замыкание многообразия Мрг(—1,п) по Гизекеру-Маруяме. Согласно гипотезе А.С.Тихомирова, морфизм рп является инъективным в общей точке. При п = 2 справедливость этого утверждения очевидна, но уже при п > 3 эта проблема оставалась открытой.
Целью настоящей диссертации является доказательство гипотезы
А.С.Тихомирова. Основной результат диссертации - следующая теорема.
Теорема. Морфизм Барта рп : Мрг(—1,п) —> p(n~1)(2ri+1) : [Е] и- С(Е) является инъективным в общей точке при п > 2.
Из других результатов диссертации наиболее важными являются следующие:
- для п = 3 дано явное описание отображения Барта рз в терминах линейной алгебры и перечислены все слои отображения рз
- для п > 3 геометрически выделено плотное открытое подмножество в множестве тех точек в Mfï{—1, п), в которых отображение рп квазиконечно;
- для п > 3 описана геометрия отображения рп и его дифференциала в общей точке границы многообразия состоящей из классов нелокально свободных пучков.
Методы работы и научная новизна.
При изучении используется геометрия открытого подмножества D границы компактификации Гизекера-Маруямы Мра(—1,п) многообразия Мрг(—1,п), состоящего из классов стабильных пучков без кручения с простой особенностью в единственной точке. При исследовании морфизма рп в окрестности дивизора D применяются методы бирациональной и пучковой геометрии, в том числе конструкция Серра и техника идеалов Фиттинга, и используются свойства специальных подмногообразий многообразия МрЦ—1,п). Основной инструмент исследования - разложение Штейна <рп = ип-рп морфизма Барта рп в композицию стягивания рп и конечного морфизма ип. Для описания дифференциала dun морфизма ип в точках многообразия pn{D) используются специфические свойства расслоений Хюльсбергена, в частности, задание

К последовательности (2.57) применим функторы Ехіг:
О ч 'Нот(Ос}0( 1,2), (9Р2хРі) -> Яот(С?Р2Хрі(1,2), Ор2хрі) -»
-4- Яот(Хд0)р2хРі(1, 2), (Др2хР‘) —>• 1(Од0(1, 2), С>Р2хРі) ч
При этом, поскольку <5о - имеет коразмерность два и пучок Од0(1,2) - пучок кручения, а пучок Ор2хРі - локально свободный пучок, то Пот{Од0{1,2), Ор2хрі) = 0 и Ехі 1(Од0(1,2), ОргхРі) = 0.
Тогда получаем, что
Яога(Хд0ір2хРі(1,2), Ор 2хРі) = Яот(С?Р2хрі(1,2), Ор2Х Рх) = С>Р2хРі(-1, -2). Тем самым,
Я1('Нот(Хд0іір2хРі(1,2),С>]р2хрі)) = ЯГ1 (С? Р2 х Рі ( 1, —2))
Я1(0Р2(-1)йС>Рі(-2)) = Я1б>Р2(-1)оЯоОРі(-2)®Я°ОР2(-1)®Я10Рі(-2). Так как /г1С?Рг(—1) = к°Орз(-1) = 0, то Ь}{Ор2хрі{—1, -2)) = 0.
Аналогично, Я2(Яош(Хд0)Р2хРі(1,2),С?ір2хРі)) = Я2((9Р2хРі(-1, -2)) и
/і2(С7Р2хРі(—1, -2)) = 0. Тогда из (2.58) следует, что
ЯжІ1(Хд0)Р2хРі(1,2),О]р2х|рі) ~ Н°(ЕхІ ^Тд^хрі^г), 0Р2хРі)) ^ = *
Я°(Ш2(0до(1,2),ОР2хП))~Я°^о.
Таким образом, есть изоморфизм
Я^1(Хд0)Р2хРі(1,2),С|Р2хРі) ~ Н°(Ехі 2(О<20(1,2),Ор2Хрі)) ~ Я°(9д0,
который элементу 1 Є Я°(9д0 ставит в соответствие элемент
£ Є Ягс^(Хд0іР2хРі(1,2), С7Р2хРі),
определяющий расширение (2.45). Утверждение 2.3.3 доказано.

Далее, заметим, что есть изоморфизм
Ехі і(1,2), Ор2хрі) ~ ЕхЬ (С?д(1,2), (9Р2хРі) ~ (9д0 ® Оі0(—2),
(2.59)
где Р = <5о 1-І /о, в самом деле, рассмотрим точную тройку:
0 ^?,Р2хрі ^Р2хрі ОдЧ 0 и подкрутим ее на Оргхрі (1,2), получим:
0 ^<з,р2х]рі(1’2) -> 0Р2хРі(і,2) -» (9д(1,2) ч 0.
Выпишем последовательность Ехі -пучков:
... ч ЕхЬ 1(0р2хРі(1,2),ОР2Хрі) ч ЕхЬ 1цГх^(1,2), Ор2Хрі) ч