Асимптотика ограниченных алгебр Ли

• Автор: Смирнов, Андрей Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Ульяновск
• Количество страниц: 58 с.

Оглавление
1 Введение
1.1 Основные определения
1.2 Перечисление максимальных подалгебр в свободных ограниченных алгебрах Ли
1.3 Об инвариантах модулярных свободных алгебр Ли
1.4 Рост идеалов в метабелевых р -алгебрах Ли
2 Перечисление максимальных подалгебр в свободных ограниченных
алгебрах Ли
2.1 Рост подалгебр в ограниченных алгебрах Ли
2.2 Коалгебры и транзитивные действия
2.3 Действия на срезанных многочленах
2.4 Перечисление ограниченных подалгебр
3 Об инвариантах модулярных свободных алгебр Ли
3.1 Инварианты свободных алгебр Ли
3.2 Основной результат
4 Рост идеалов в метабелевых р -алгебрах Ли
4.1 Рост подалгебр в абелевых р-алгебрах Ли
4.2 Основной результат: рост идеалов в метабелевых р-алгебрах Ли

Заключение
Литература
Глава
Введение
Широкое применение в последнее время получило изучение числовых характеристик различных алгебраических объектов. Например, понятие роста подгрз пп играет важную роль в современной теории групп, этому понятию посвящена недавняя монография [23]. При этом изучение числовых характеристик алгебр и их многообразий приобретает все большее значение, елз'чай ассоциативных алгебр из)гчается в монографии [19]. Многообразия алгебр Ли — это устоявшаяся область исследований в современной алгебре [6]. Асимптотические задачи также получили широкое распространение [11]. Основными объектами изучения настоящей работы являются (ограниченные) алгебры Ли, а именно, исследуются некоторые их асимптотики. Таким образом, тематика исследований является актуальной.
1.1 Основные определения
Определение 1.1.1 Алгеброй Ли L надполем К называется К -модуль L, снабженный билинейным отображением (х.у) —> [ад т/] пряного произведения L х L в L, называе.ным коммутированиелі и удовлетворяющим следующилі двум аксиоиам:
1. [.т, х] = 0 , откуда [ж, у] = — [у, х];

свободной алгебре Ли L = Ь(х 1, Пусть Y — U Yn, где Yn С Ln — сво-

бодное однородное порождающее множество для подалгебры инвариантов Ьа и H(Y,t) = Ynt” — ее производящая функция. Тогда
1. TL(Y, А) не зависит от выбора свободного однородного порождающего множества ':
2. последовательность Yn растет экспоненциально:
limsup /Уп ~ к;
п—*00
3. радиус сходимости для TL{Y,t) равен 1/к;
4. производящая функция имеет следующую асимптотику
/ l/[G|+o(l)
H{Y,t) = l~ (l-kt) , tl/k-0.
Здесь t —> 1/A; — О обозначает, что вещественная переменная стремится слева к 1/к
Производящая функция для всей свободной алгебры Ли оказалась полезной [12], [27], и [17]. Она равна
ОО 00
H(L,t) = dimZnin = -ln(l - kta), (3.1)
п= 1 а
где p(a) — функция Мёбиуса.
Напомним разложение — ln(l — А) = 17 которое имеет место для всех
комплексных чисел А. таких что |А| <1. Пусть t — комплексное число и ]А| = г. Далее, оценим (3.1) так

[W(L,t)|<-ln(l-ATa).

Имеем — 1п(1 — Ат“) кга когда а —> оо, для всех г < 1/А;. Тогда сходимость ряда выше эквивалентна сходимости г° Заключаем, что ряд (3.1) сходится
абсолютно к аналитической функции в круге |/| < 1/к. Аналогично, сумма всех