О средних значениях арифметических функций

• Автор: Колпакова, Ольга Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 68 с.

Глава I. Формула обращения для средних Рисса от коэффициентов ряда Дирихле
§1. Вспомогательные утверждения
§2. Основная теорема
Глава II. Абсцисса и экспонента Карлсона для нецелых
моментов дзета-функции Римана
§1. Обобщение теоремы Карлсона на случай произвольных вещественных
показателей степени осреднения
§2. Абсцисса Карлсона
§3. Экспонента Карлсона
Глава III. Средние значения многомерной функции делителей
§1. Проблема делителей Дирихле для больших значений
размерности функции делителей
§2. Среднеквадратичное отклонение сумматорной функции
в проблеме делителей Дирихле
§3. Средние Рисса в многомерной проблеме делителей
Литература

Основным предметом исследований, составляющих содержание настоящей диссертации, является многомерная проблема делителей Дирихле.
Проблемой делителей называют задачу об исследовании асимптотического поведения среднего значения функции делителей Дирихле, распространенных на множества натуральных чисел, имеющих различную природу. Поясним, что функцией делителей тДп) называется количество представлений натурального п в виде п = х... где х..,Хк — натуральные числа. Следует сказать, что данная задача допускает многочисленные арифметические и геометрические интерпретации. В частности, полученная самим Дирихле асимптотика для среднего значения числа делителей натурального аргумента одновременно является и асимптотикой для количества целых точек под гиперболой.
Следует сказать, что начиная с классической работы Л. Дирихле 1849 г. [21], посвященной выводу асимптотической формулы для количества целых точек под гиперболой, проблема делителей Дирихле остается одной из центральных задач аналитической теории чисел.
Современная постановка проблемы делителей включает в себя много различных аспектов, наиболее важным из которых является задача получения новых оценок остаточного члена ДДх) в асимптотической формуле для сумматорной функции делителей вида
Аь(ж) = 2п(га) = хРк-1(1п х) + ДДж).
п^х
Здесь предполагается, что х -> сю, и функция Рк-(у) представляет собой некоторый многочлен с вещественными коэффициентами степени к — 1 от аргумента у — 1пх.
Верхней оценкой остатка ДДт) при различных значениях величины к занимались многие известные математики. Кроме упомянутой выше работы Л. Дирихле 1849 г., в которой получена оценка вида
Дг(я) а^+е,
можно указать на работы Г. Ф. Вороного [6], Е. Ландау [22], Г. Харди и Ж. Литтвуда [23], Ж. ван дер Корпута [24], К. Тонга [25], А. Вальфиша

[26], Ф. Аткинсона [27], Т. Чи Джан Тао [25], Х.-Е. Рихерта [29], Чен Джин Рана [13], А. А. Карацубы [14], Г. А. Колесника [15], а также на работы А. Ивича [16] и А. Ивича и М. Квелета [5]. Отдельно отметим результаты, полученные Е. Е. Баядиловым в работах [8], [12], [19], [35] и [36], некоторые из которых улучшаются в данной диссертации.
Подчеркнем, однако, что интенсивные исследования, проводимые на протяжении многих лет и отраженные в указанных выше работах, в настоящий момент еще далеки от окончательного решения проблемы, которая предполагает получение оценки типа
ДДж) жЬА+е
для любого е > 0 соответствующей 12 — теореме Г. Харди [38] для величины ДДа;), утверждающей, что верхняя оценка типа
Ак{х) <е х
2 2 к
уже не имеет место.
Заметим также, что к проблеме делителей относят еще целый класс задач, состоящий в нахождении асимптотических формул с оценкой остатка для среднего значения функции тДп), когда п пробегает некоторое подмножество множества натуральных чисел, не совпадающее с натуральным рядом. Количество таких задач очень велико, как и число работ, им посвященных. Можно указать, например, на проблему нахождения асимптотики для среднего значения функции тД[пс]), рассмотренную А. Закзаком [33], X. М. Солибой [18], Г. И. Архиповым и В, Н. Чубариковым [32].
В исследованиях по верхним оценкам остатка ДДж) используется стандартное обозначение показателя ад, понимаемое как наименьшее вещественное число, обладающее свойством, что при х —>■ оо справедлива оценка вида
Ак{х) «е хак+Е.
Приведенная выше нижняя оценка Г. Харди для остатка Д/фа;) показывает, что 1
ак^2~2к'
В этих обозначениях проблема верхней оценки остатка в проблеме делителей Дирихле сводится к нахождению более точных верхних границ для величины ад.

Тогда при х —> оо и любом е > 0 справедлива асимптотическая формула Бк(х) = хРк-1(пх) + Ак(х), Ак(х) <е хак+£,
где ак = 1 — , Ь — 79.95, а многочлен Рк-(1пх) определен
ранее.
Доказательство. Можно считать, что х — N Положим в формуле Перрона (гл. I, §2, лемма 1) ап — тк{п). Тогда, учитывая, что при любом е > 0 имеет место оценка |тДп)| <Се пе, получаем
Ъ+гТ
п^к Ь_1Т

1+£1пт
Т(Ь — 1)°у "и V т )■
Опираясь на известные свойства дзета - функции Римана можем считать, что

Ь = Ь 1 и а
Поэтому для остатка Д справедлива оценка
К С хшТ~
где г > 0 — произвольно мало.
Далее контур интегрирования, состоящий из отрезка вертикальной прямой с началом в точке Ь — гТ и концом в точке Ь + гТ, заменим на другой, состоящий из следующих частей Е Е§'.
1) горизонтального отрезка Е = [6 — гТ, /3 — гТ], где /3 — некоторое число из промежутка | < /3 < 1;
2) вертикального отрезка Е2 — [/3 - гТ,/3 - г/г], причем точка /3 - г/г лежит на окружности 76 радиуса 0.5 с центром в точке го — 1 и Н > 0.3;
3) участок интегрирования Е3 проходит по указанной выше окружности К от точки (3 — г/г до точки /3 + г/г в отрицательном направлении, то есть по "часовой стрелке";
4) £4 — вертикальный отрезок с началом в точке /3 4-г/г и концом /3 -ИТ;
5) Е5 — горизонтальный отрезок [/3 -1- гТ, Ь Р гТ].