Категорные методы в теории высших аделей и их применение

• Автор: Осипов, Денис Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 195 с.

Оглавление
Введение

1 Сп-пространства, категории СЦп, Сдг и С®г

1.1 Категории Сп

1.1.1 Вводные замечания

1.1.2 Конструкции

1.1.3 Примеры

1.1.4 Алгебра эндоморфизмов п-мерного локального поля

1.2 Дальнейшие обозначения и соглашения

1.3 Категории С“

1.3.1 Категорий С%п
1.3.2 Категории С§г и С“
2 Гармонический анализ на локальных полях и пространствах аделей
2.1 Функции и распределения на объектах Сд1 и С“
2.1.1 Функции и распределения на объектах Сдт
2.1.2 Функции и распределения на объектах С®г
2.2 Категории С|г
2.3 Виртуальные меры
2.4 Основные пространства
2.5 Преобразование Фурье
2.5.1 Отображения / I—/, С I—>■ б
2.5.2 Двумерные преобразования Фурье
2.6 Центральное расширение и его представления
2.6.1 Канонические изоморфизмы
2.6.2 Некоторая подгруппа группы автоморфизмов
2.6.3 Центральное расширение
2.6.4 Представление центрального расширения
2.6.5 Преобразование Фурье и представление центрального расширения
2.7 Прямые и обратные образы
2.7.1 Случай, когда Е — с-объект
2.7.2 Случай, когда Ез — й-объект
2.7.3 Случай, когда Е2 — с/-объект
2.7.4 Случай, когда Ез — ^/-объект
2.8 Композиция отображений и правила замены базы
2.8.1 Правила замены базы
2.8.2 Правила композиции отображений
2.9 Преобразование Фурье и прямые и обратные образы
2.10 Двумерные формулы Пуассона
2.10.1 Формула Пуассона I
2.10.2 Формула Пуассона II

2.11 Пример
2.11.1 Некоторые фактор-группы групп ад елей алгебраической поверхности
2.11.2 Более точное вычисление
2.11.3 Случай арифметической поверхности
3 Центральные расширения, гармонический анализ и теорема Римана-Роха на алгебраической поверхности
3.1 Центральные расширения и законы взаимности на алгебраических поверхностях
3.1.1 Вводные замечания
3.1.2 Конструкция группы
3.1.3 Центральное расширение
3.1.4 Законы взаимности вокруг точек
3.1.5 Законы взаимности вдоль кривых
3.2 Гармонический анализ и теорема Римана-Роха
3.2.1 Спаривание двух характеристических элементов
3.2.2 Самодвойственность кольца аделей на алгебраической поверхности .
3.2.3 Вычисления с /г° и И?
3.2.4 Вычисление с Эйлеровой характеристикой у
3.2.5 Центральное расширение, индекс пересечения и теорема Римана-Роха

4 Гипотетическое двумерное соответствие Ленглендса
4.1 Неразветвленное двумерное соответствие Ленглендса
4.1.1 Вводные замечания
4.1.2 Абелев случай двумерного соответствия Ленглендса
4.1.3 (^-пространства и центральные расширения
4.1.4 Неразветвленное соответствие Ленглендса для двумерных локальных
полей
4.2 Категорные центральные расширения и законы взаимности для двумерного ручного символа
, 4.2.1 Вводные замечания
ч 4.2.2 Абстрактный формализм
4.2.3 Тейтовские векторные пространства
4.2.4 Приложения к случаю групп (7 = ЦЦ&((())) и СЬ(А;(Ц))((5)))
4.2.5 Законы взаимности
Литература

Введение
Актуальность темы
В середине тридцатых годов ХХ-го века, после работ К. Шевалле и А. Вейля, в алгебраической теории чисел появилось понятие кольца аделей и группы иделей (как группы обратимых элементов кольца аделей). Сначала определяется локальное поле как пополнение глобального поля (то есть поля алгебраических чисел или поля рациональных функций кривой над конечным полем) относительно абсолютного значения (архимедова или неархимедова), заданного на этом поле. Кольцо аделей глобального поля есть ограниченное топологическое произведение всех локальных полей, возникающих из данного поля, см. например, работы [1] и [8]. Идели и адели глобальных полей были успешно применены для построения глобальной теории полей классов, то есть для описания группы Галуа максимального абелевого расширения глобального поля в терминах группы иделей (при помощи отображения взаимности).
В 70-х годах ХХ-го века А. Н. Паршин определил в работе [20] адели для алгебраических поверхностей. Позднее А. А. Бейлинсон в заметке [3] определил адели для произвольных нетеровых схем, см. также работу [49], где были даны доказательства теорем из заметки А. А. Бейлинсона.
Определение аделей, данное А. А. Бейлинсоном — индуктивное и использует последовательные процессы локализаций и пополнений пучка (пространства аделей определяются для произвольного квазикогерентного пучка на схеме, кольцо аделей получается применением конструкции к структурному пучку схемы). Структуру получившегося кольца аделей можно описать следующим способом. Пусть X — n-мерная неприводимая схема конечного типа над Z, и Хо С Х С .. -Хп = X — флаг неприводимых подсхем на X, так что dimXi = і. Тогда можно определить кольцо КХа, ,xn_i, связанное с этим флагом. Если Хо — регулярная точка на всех подсхемах Хг, то КХо, ,x„_i — n-мерное локальное поле. (По определению, n-мерное локальное поле — это полное поле относительно дискретного нормирования, так что поле вычетов является п — 1-мерным локальным полем. Поле — 0-мерное локальное, если оно конечное.) В общем случае, если X — целая схема, то кольцо KXot :x„_i является конечным произведением n-мерных локальных полей, см. например [59]. Теперь кольцо аделей Ах есть некоторое ограниченное (по более сложным правилам, чем в класическом случае) произведение колец KX0: :xn_i по всем флагам неприводимых подсхем, определенных выше, то есть
КХв, іх„_1 С КХо, ,хп-!-
Х0С СХ„_! Х0С СХ„_!
Позднее А. Н Паршин (и независимо К. Като и другие авторы) построили локальную и глобальную двумерную теорию полей классов, то есть дали явное описание группы Галуа максимального абелевого расширения поля рациональных функций двумерной арифметической схемы X. см. обзор [69]. Глобальная двумерная теория полей классов (как и в класическом одномерном случае) строится при помощи произведения (по всем

2. Для любого Е е ОЬ(С'“) имеем
Ф{Ё) = Ф(Е).
3. Ф отображает лтожество допустимых троек из С{Т на следующее множество точных троек локально компактных абелевых групп из Ьос3* :
О —> Я —> в —» Ё/Н —> О,
где Н — замкнутая подгруппа в (3.
Доказательство . Для доказательства утверждения 1 этого предложения построим функтор
Л : Ьос —► С1%тр
следующим способом. Пусть группа С € Тосаг. Определим Л(С) = (I, Д С). Здесь I — это множество подгрупп группы (3, так что К € 7, если и только если подгруппа К совпадает или с подгруппой II, или с подгруппой V, которые удовлетворяют свойствам (*)
- (***), определенным выше. Множество I частично упорядочено посредством включения подгрупп. Функция К отображает К е I в соответствующую подгруппу К С С. Из рассуждений перед этим предложением ясно, что (I, Д б) 6 ОЬ(С'^гсотр/).
Теперь пусть ф 6 Мог£,осаг(С1, (Зг). Покажем, что А(ф) = ф корректно определен как элемент из Могс"(Л((?1),Л((?2)), то есть ф удовлетворяет условиям 1-3 определения 17. Пусть 11 Э Д — подгруппы группы СД, которые удовлетворяют свойствам (*)
- (***), определенным выше, для группы СД. Пусть и2 Э Иг — подгруппы группы удовлетворяющие свойствам (*) - (***), определенным выше, для группы Сг- Благодаря условию (1.Ю), без ограничения общности можем предположить, что 0/и2 — дискретная группа кручения. Имеем, что ф(у{) — компактная группа, и, таким образом, — конечная группа. Кроме того, — конечная группа по формуле (1.3), поэтому ф<-их>+и
— конечная группа. Отсюда, группа ф{и) + 112 из множества I. Таким образом, отображение ф удовлетворяет условию 1 определения 17. Чтобы показать, что отображение ф удовлетворяет условию 2 определения ф7, достаточно проверить условие 1 определения 17 для двойственного отображения ф : С2 -э С. В самом деле, если V Э V — подгруппы группы С € ОЪ(Ьос), удовлетворяющие свойствам (*) - (***), сформулированным выше, для группы б, то V1 Э их — подгруппы группы С, удовлетворяющие свойствам (*) -(***), сформулированным выше, для группы <_?. Здесь для любой подгруппы Н С О мы определили подгруппу Нх С <3:
Нх = {д е д : д |„= 1}.
Но условие 1 определения 17 мы только что проверили для любого отображения. Условие 3 определения 17 выполняется для отображения ф, так как любой непрерывный гомоморфизм между группами Ли является гладким гомоморфизмом между этими группами.
Теперь легко видеть, что функтор ФоЛ изоморфен тождественному функтору Ыос, и функтор Л о Ф изоморфен тождественному функтору Ыс*1 . Поэтому мы доказали утверждение 1 предложения 7.
Утверждение 2 предложения 7 следует из следующего наблюдения. Если {/ Э V
— подгруппы группы (3 £ ОЪ(Ьос), удовлетворяющие свойствам (*) - (***)1 свормули-рованным выше, для группы (7, то Vх Э IIх — подгруппы группы (7, удовлетворяющие свойствам (*) - (***), сформулированным выше, для группы (7. Благодаря условию (1.10),